Ｃn級の関数の最も一般的な定義域はＣn多様体？

Question

n=0,1,…,∞,ωなどで考えています.
質問の発端は一般化座標を考えているんですが
　q:R×M∋(t,x,y,z)→q(t,x,y,z)∈R^3
　( t:fix , q'(x,y,z):=q(t,x,y,z) :1to1 )
MはR^3内のC1構造を持つ多様体
とすればいいのではと考えています.

また、考え方としてはR^n上のCn級の関数の像はMのカテゴリに入る
　i.e. ∀f∈Cn(R^n),Im(f):Cn級の多様体
　　　 f∈Cn(R^n)でない ⇒ Im(f):Cn級の多様体でない
を示せばいいのかと思いました.

kabaokaba · Accepted Answer

何を言ってるのか全然わかりません．
質問のタイトルと内容の関連もないに等しいですし・・

>質問の発端は一般化座標を考えているんですが

一般化座標ってなんですか？

>　( t:fix , q'(x,y,z):=q(t,x,y,z) :1to1 )
1to1ってなんですか？
単射の意味での1 to 1ですか？
つまり，tを固定したときにq'は単射であることを
qの条件としているのですか？

>MはR^3内のC1構造を持つ多様体とすればいいのではと考えています.
「すればいい」というのは
何を示したいのでしょうか？

>i.e. ∀f∈Cn(R^n),Im(f):Cn級の多様体
> f∈Cn(R^n)でない ⇒ Im(f):Cn級の多様体でない

関数なんだからfの値域ははRかCの部分集合．
百歩譲って，fの値域はR^nの部分集合だとしたって
微分が「つぶれている」ことがあるので
像が滑らかな多様体であることはほとんどないです
＃特異点をもつ多様体であることがほとんどのはず．

質問のタイトル
>Ｃn級の関数の最も一般的な定義域はＣn多様体？

ですが・・・これは多様体の初歩的な本を
みればたいてい書いてあるんですが・・・

C^n級の多様体というのは
座標変換がC^n級であることをいうのは
ご承知ですよね
そして，多様体上の関数の微分可能性なんてのは
座標に依存しては全く意味がないので
当然，座標変換に影響をうけてはいけないわけです
となると，関数fと異なる座標g，hを考えて
f(g(h^{-1}(x))なんてものを考えないといけないので
gh^{-1}の微分可能性が問題になるわけです
このgh^{-1}がC^nであるような多様体が
C^nなわけですので
C^nな多様体の上でC^{n+1}なんて関数を考えるのは
無意味です．
逆に言えば，
C^ωな多様体の上なら，C^∞だって意味があります．

＃ちなみに「カテゴリ」というのは
＃立派な数学用語で厳密な定義があります．
＃日本語では「圏」なんて訳されます．

ryn · Answer

横から失礼します．

> 1さん
一般化座標というのは解析力学の用語です．

よく知られているようにデカルト座標におけるニュートンの運動方程式は
　mx" = F
という形をしていますが，この形は例えば極座標に変換すると
方程式の形が変わってしまいます．

そこで，方程式の形が座標系によらない運動方程式(Euler Lagrange 方程式)が
考えられたのですが，そのときに出てくる用語が一般化座標です．

具体例を挙げると，単振り子の振れ角θなども一般化座標ですし，
N個の粒子の運動を考えるときにそれらの座標を
　x_1,x_2,…,x_{3N}
のように，3N個の変数で表したものも一般化座標です．
さらに，斜面上を小球が滑り降りるような問題のときには，
時刻0から時刻tまでの間に小球が滑り降りた距離をxとおくと，
その x も一般化座標と呼ばれるものです．

Euler Lagrange 方程式はこれらの変数を用いても運動方程式の形が変わらず，
Newton の運動方程式よりも適用範囲が広いものとなっています．

また，Euler Lagrange 方程式にでてくる Lagrangian というものが，
一般化座標とその時間1回微分の関数になっています．

つまり，質問者さんの仰る
　q:R×M
の R は時間に対応し，M は粒子の一般化座標に対応します．
そこで，一般化座標に対応する M については
R^3（N体問題だと R^{3N}）,C1級 などが要求されるといったような背景があります．

graphaffine · Answer

質問の趣旨がよくわからないのは#1の方と同じです。

で、蛇足ながら一言。
Ｃn級の関数はＣn多様体の微分構造のもとで意味を持つものですよね。ですから、タイトルは意味不明です。じゃあ、一般的でない定義域とは何なの、と訊きたくなります。
何となくＣn多様体の拡張を考えているような気もしますが、具体的に微分構造がどうなるか、明言してもらわないとわかりません。

Ｃn級の関数の最も一般的な定義域はＣn多様体？

何を言ってるのか全然わかりません．

横から失礼します．

質問の趣旨がよくわからないのは#1の方と同じです。

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