n次元ベクトルの外積の定義

ｎ次元ベクトルの外積の定義はどういうものなのでしょうか？
そもそもできるのでしょうか？外積は３次元特有のものでしょうか？

例えば、n次元ベクトルの内積は、例えば
(a1,a2,.....,an)・(b1,b2,.......,bn)
=a1*b1+a2*b2+......+an*bn
と定義できると思っています。

こういう感じでn次元ベクトルの外積は定義できますか？
ご教授ください。

No.6 回答者： oodaiko 回答日時： 2002/01/06 06:30

なんだかsiegmund先生に呼ばれたような気がした数学屋のoodaikoです。

内積の一般化については chukanshi さんの定義の通りです。
一方「外積」と「ベクトル積」は３次元では同じものになりますが、一般次元では異なったものになります。
詳しいことは後ほど書きますので、まだ閉じないで下さい。

この回答へのお礼

ありがとうございます。oodaikoさんのご登場を密かに期待しておりました。よろしくご指導お願い申し上げます。m(_ _)m
実は、「外積」と「ベクトル積」をちゃんと意識的に区別しないで質問してしまったので、申し訳ないです。そのへんが「わかっていない」証拠なのです。

お礼日時：2002/01/06 08:14

No.5 回答者： stomachman 回答日時： 2002/01/06 03:18

No.4のコメントでchukanshiさんが仰るとおり、starfloraさんの方法とsiegmund先生の方法は結局同じ事です。

例えば４次元の場合、starfloraさんの方法で
３行目を<1 0 0 0>４行目を<1 0 0 0>としたもの
３行目を<0 1 0 0>４行目を<1 0 0 0>としたもの
３行目を<0 0 1 0>４行目を<1 0 0 0>としたもの
３行目を<0 0 0 1>４行目を<1 0 0 0>としたもの
が、siegmund先生の二階テンソルの１行目の行ベクトルの成分を表しています。
同様に
３行目を<1 0 0 0>４行目を<0 1 0 0>としたもの
３行目を<0 1 0 0>４行目を<0 1 0 0>としたもの
３行目を<0 0 1 0>４行目を<0 1 0 0>としたもの
３行目を<0 0 0 1>４行目を<0 1 0 0>としたもの
がテンソルの２行目の行ベクトル、
３行目を<1 0 0 0>４行目を<0 0 1 0>としたもの
３行目を<0 1 0 0>４行目を<0 0 1 0>としたもの
３行目を<0 0 1 0>４行目を<0 0 1 0>としたもの
３行目を<0 0 0 1>４行目を<0 0 1 0>としたもの
がテンソルの3行目の行ベクトル、
３行目を<1 0 0 0>４行目を<0 0 0 1>としたもの
３行目を<0 1 0 0>４行目を<0 0 0 1>としたもの
３行目を<0 0 1 0>４行目を<0 0 0 1>としたもの
３行目を<0 0 0 1>４行目を<0 0 0 1>としたもの
がテンソルの4行目の行ベクトルです。

　同様にn次元の場合にも、(n-2)階テンソルのn^(n-2)個の要素がシステマティックに得られる（検算して確かめてはいません）。

この回答へのお礼

ありがとうございます。starfloraさんが、幾何学的（＋ベクトル空間内で演算を閉じさせる）アプローチ、siegmund先生が代数的アプローチをお取りになったということで、結果的には同じことになりそうですね。

お礼日時：2002/01/06 08:19

No.4 回答者： siegmund 回答日時： 2002/01/05 22:08

昔，フェルミオン系の経路積分の勉強をしたときに，

グラスマン代数(＝外積代数？)や微分形式をちょこっとかじりました．
途中で挫折した上にもう記憶が定かでありません．

3次元ベクトル間の外積はよく知られているように
ベクトル（すなわち１階のテンソル）で，
A×B=(A[2]B[3]-A[3]B[2]，A[3]B[1]-A[1]B[3]，A[1]B[2]-A[2]B[1])
です．
A[1] はベクトル A の第１成分．
これは基本反対称テンソルεを使って
(A×B)[i]=Σε[i，p，q] A[p] B[q]
と書けます．Σはよくやるように，p，q についての和．

この方式で拡張するのだったと思います．
２次元なら，結果は０階のテンソル，すなわちスカラーで
(A×B) = A[1]B[2] - A[2]B[1]

４次元だと，結果は２階のテンソルで
(A×B)[i，j]=Σε[i，j，p，q] A[p] B[q]
で，成分表示すれば
A×B=
　　┌　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　┐
　　│　0，A[4]B[3]-A[3]B[4]，A[2]B[4]-A[4]B[2]，A[3]B[2]-A[2]B[3]　│
　　│　A[3]B[4]-A[4]B[3]，0，A[4]B[1]-A[1]B[4]，A[1]B[3]-A[3]B[1]　│
　　│　A[4]B[2]-A[2]B[4]，A[1]B[4]-A[4]B[2]，0，A[2]B[1]-A[1]B[2]　│
　　│　A[2]B[3]-A[3]B[2]，A[3]B[1]-A[1]B[3]，A[1]B[2]-A[2]B[1]，0　│
　　└　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　┘
のようですね(計算大丈夫かな，テンソル演算はよく間違うので)．

以下同様で，ｎ次元ベクトル同士の外積は n-2 階のテンソルです．

上の話でＯＫなら，３次元だけが特別です．
すなわち，３次元の時だけ外積演算結果がまたそのベクトル空間の要素になっています．
adept さんの引用された記述はそういう意味でしょうか．

余り自信がありません，数学のプロの方，よろしくお願いします．

この回答へのお礼

ありがとうございます。そういえば、フェルミオンの経路積分でグラスマン代数なんていうのが、ありましたね。微分形式も、そのからみでありましたし。微分形式自体は、一般相対性理論を勉強したときに勉強した記憶があります。そういえば、
外積みたいなのを、基本反対称テンソル、なんかレビ＝チビタテンソルとかいうの（ε）を使って定義していました。アインシュタインの略記とかいってサンメーション略していましたっけ。（なんか思い出話になって申し訳ない。）
そうですね、このこの式を高次元に拡張すればよいわけですね。なるほど、代数的には非常に自然な感じがします。こう考えると、なるほど３次元だけが、おなじベクトル空間内で演算が閉じていることがわかりますね。このテンソルの「行」かなにかを取り出してくると、starfloraさんのベクトルになるような気がしますが。
siegmundさんの回答もよく拝見しますが、いろいろご存知で凄いですね。

お礼日時：2002/01/06 00:58

No.3 回答者： adept 回答日時： 2002/01/05 21:33

Theory and Problems of Linear Algebra (3rd) (McGrowHill)

という教科書によれば、

There is a special operation for vectors u and v in R^3 that is not defined in R^n for n!=3.

ということで、３次元以外での一般的な定義はないそうです。

この回答へのお礼

ありがとうございます。「a special operation」の具体的な演算式が、そのご本でどう書かれているのか、わかるとありがたいのですが。
確かに、３次元は「特殊」という気はしますが。

お礼日時：2002/01/06 00:44

No.2 回答者： starflora 回答日時： 2002/01/05 21:22

　

　　はたしてこれが、ｎ次元空間の「外積」の定義になるのかどうか分かりませんが、三次元での外積を延長して考えてみることはできます。
　
　　直感的なイメージでは、ｎ次元空間のなかの独立したｎ－１個のヴェクトルが構成する「超菱形超立体」の超体積をスカラー量として、その大きさとし、ｎ－１個のヴェクトルの張る空間に独立な、つまり直交するヴェクトルで、先のスカラー量の長さを持つヴェクトル・プロダクトが、ｎ次元の外積になるのではないでしょうか。この場合、三次元のような意味の右手系とか左手系はありませんが、しかし、ｎ－１次のヴェクトルについて、外積計算プロダクトの手順で、順序付けが行えるはずで、ここから、鏡像反転によって二つの値を取るヴェクトルの二つの方向が出てきます（つまり、ｎ次元でも、右手系と左手系が定義できるのです）。どちらかを指定できるということです。
　
　　行列式で表現すると、わたしの記憶間違いでなければ、三次元での外積は、少し変則的な表現ですが、三次の正方行列を考え、その第一行に、ヴェクトルＡの成分を入れ、第二行に、ヴェクトルＢの成分を入れ、第三行には、独立単位ヴェクトルｉ，ｊ，ｋを入れて、これで行列式を計算すると、ｉ，ｊ成分はゼロ、そしてｋ成分が外積のスカラー量、つまりヴェクトルの大きさとなり、ｋが、そのヴェクトルの方向です。ＡとＢは、ｉ，ｊが張る空間に載る訳で、従って、Ａ，Ｂ共に、ｋに当たる第三列成分はゼロのはずです。式で書くと、Ａ（a1,a2,0），Ｂ（b1,b2,0）で、ｋヴェクトルの大きさは、（a1b2-a2b1）となります。ここで、Ａ，Ｂという風にヴェクトルを第何列にいれるかで、一意的に、ｋの正負が決まってきます。ｉ→ｊ→ｋという風に右手系が定義されます。
　
　　ｎ次元の場合、ｎ次の正方行列を考え、この行列式を考えるのです。第一行にヴェクトルＡ1、第二行にＡ2……と入れて行きます。単位ヴェクトルｕ(i)は、i＝ｎの時、すべての成分が、この第ｎ列でゼロになるように定義します。
　
　　こうすると、まさに、ヴェクトルＡ(i)の順序で、右手系か左手系が、ｎ次元で定義されます。また、ｕ(n)の上の要素つまり、第ｎ列要素が、すべてのヴェクトルでゼロであることが、まさに、それらのヴェクトルの張る空間と、単位ヴェクトルｕ(n)が独立であることを意味するので、この行列式は、ｕ(n)以外の単位ヴェクトルの成分が結果的にすべてゼロになり（なぜなら、ｎ列要素がすべてゼロなので、行列式の定義から云って、ｕ(n)以外の単位ヴェクトルの成分はゼロになるのです。また、方向付けも、Ａ(i)というヴェクトルの並べ方で、一意的に決まってきます。
　
　　これで、ｎ次元のヴェクトルの「外積」の定義になると思うのですが、この用語は、もっと別の数学的概念を表現するのに使われているかも知れません。
　

この回答へのお礼

ありがとうございます。starfloraさんは、いろいろなことをご存知で凄いですね。ポイント成績いつもトップクラスですし。
starfloraさんの幾何学的なイメージは、わかりやすく、とっても気にいりました。たぶん、同じベクトル空間内で演算を閉じようとするとこうなるのでしょうね。「外積」ってやはりこういうイメージですよね。数学的には、starfloraさんのおっしゃっていることは、「純r-ベクトル」というものの特殊な場合になるようです。が、外積のイメージに近いですよね。

お礼日時：2002/01/06 00:40

No.1 回答者： hitomura 回答日時： 2002/01/05 21:09

参考URLの先頭に書かれている

「ここでは外積の応用を3次元空間に限ります．他の空間には外積のやさしい一般化がないのです． 」
を信用すると、
「３次元ベクトル空間以外でも定義できることはできる、が、非常にややこしい」
ようです。

参考URL：http://next1.cc.it-hiroshima.ac.jp/MULTIMEDIA/se …

この回答へのお礼

ありがとうございます。確かに３次元での外積をそのまま拡張はできずに、複雑になることは、覚悟しています。

お礼日時：2002/01/06 00:32