極大値・極小値について教えてください。

関数f(x,y) = x^2-2xy+2y^2+2x-8yの極大値・極小値を求めよという問題です。

まずxとy、それぞれで偏微分すると
∂F/∂x = 2x-2y+2 = 0
∂F/∂y = -2y+4y-8 = 0　になります。
この二つの連立方程式を解くと、
x = 2, y = 3　になるんですが、
この(2,3)という点が極小値になるのか極大値になるのかが分からずに困っています。
どうかよろしくお願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： eatern27 回答日時： 2006/02/12 14:49

1変数関数の場合、

１階微分f'(x)=0となる点が、極大値・極小値の候補であり、
２階微分f''(x)で、極大値・極小値を判別します。


２変数関数の場合もほぼ同様で、
１階微分が０となる点が、極大値・極小値の候補であり、
２階微分で極大値・極小値を判別します。
ただ、２変数関数の場合には、二階微分が
a=∂^2Ｆ/∂x^2
b=∂^2Ｆ/∂x∂y(=∂^2F/∂y∂x)
c=∂^2Ｆ/∂y^2
のように3種類あったりするので、１変数の場合よりもちょっと複雑になります。

Δ=ac-b^2とした時、
(1)Δが正かつ、a>0なら極小
(2)Δが正かつ、a<0なら極大
(3)Δが負なら、鞍点
となります。(Δ=0の場合には、これだけでは判別できないので、別の方法で考えなければいけません)

ただ、その問題に関しては
F(x,y)=x^2-2xy+2y^2+2x-8y=(x-y+1)^2+(y-3)^2-10
と平方完成した方が、簡単でしょう。

No.1 回答者： Deerhunter 回答日時： 2006/02/12 14:31

ｘについてもう一度微分して正なら最小、負なら最大、一変数の関数と考えればよいのでは？あと心配でしたら（０，０）とか適当に代入してチェックしてください。

三次元空間のZ=F（ｘ、ｙ）の分布をイメージするとわかりやすいかもしれません。