誰か教えて下さい！

放物線の方程式を求める問題です。
２点（１，２）（２、１／２）を通り、Ｘ軸に接している。で
ｙ＝ａ（ｘ－ｐ）2に２点を代入すれば良いと思うのですが
ａとｐの出し方がわかりません。
何方か、ご教授願います。

No.3 ベストアンサー 回答者： tajikun_376 回答日時： 2002/01/20 10:29

まず、y=a(x-p)~2に、（１，２），（２，１／２）を代入する。

ａ（１－ｐ）＾２＝２・・・（１）
ａ（２－ｐ）＾２＝１／２・・・（２）
んで、（１）に（２－ｐ）＾２をかけ、（２）に（１－ｐ）＾２をかける。
そうすれば、２（２－ｐ）＾２＝１／２（１－ｐ）＾２が出てきますね？
次はこれを整理して、３ｐ＾２－１４ｐ＋１５＝０を導き出します。
因数分解で、（３ｐ－５）（ｐ－３）。
ｐ＝５／３，３がｐの値となるわけです。
（ｉ）　　ｐ＝５／３のとき
ｙ＝ａ（ｘ－５／３）＾２　　　　（１，２）を代入
４ａ＝１８　　　ａ＝９／２
　　　　　　　　　　　　　(答）　ａ＝９／２，ｐ＝５／３
（ｉｉ）　　ｐ＝３のとき
ｙ＝ａ（ｘ－３）＾２　　　　　（１，２）を代入
４ａ＝２　　　ａ＝１／２
　　　　　　　　　　　　　(答）　ａ＝１／２，ｐ＝３

No.4 回答者： finalanswer 回答日時： 2002/01/20 11:23

No.2の者です。

問題文が「2点(1,2)、(2,1/2)を通り、x軸に接している放物線の方程式」を求めるなら、放物線の軸はy軸と平行になるとは限りません。
先程、ヒントを差し上げたものは、あくまで放物線の軸がy軸と平行である場合です。
＃高校レベルなら、放物線の軸がx軸かy軸に平行であると考えてよいが…。

以下は大学レベルとして考えます。
放物線は2次曲線であるから、
ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f = 0 …(A)、b^2-4ac = 0（放物線である条件）
となります。（証明は省略します。）
2点を通るから、(A)の式に代入して
a+2b+4c+d+2e+f = 0
4a+b+(1/4)c+2d+(1/2)e+f = 0
x軸に接するから、(A)の式にy=0を代入して変形すると
ax^2+dx+f = 0
となって、これが重解をもつので
d^2-4af = 0
となります。
なお、今の私の学力では、これくらいしか条件が思いつきません。
多分、a～fは定まらないでしょう。
誰か分かる方がいるなら、回答してくれると思います。

No.2 回答者： finalanswer 回答日時： 2002/01/20 08:39

ヒントだけで勘弁願います。

2点(1,2)、(2,1/2)を通ることから、放物線の式に代入して
2 = a(1-p)^2 …(1)
1/2 = a(2-p)^2 …(2)
が成り立ちます。
また、y = a(x-p)^2 は、点(p,0)を頂点とし、直線x=pを軸とする放物線です。
放物線がx軸に接していることは自明です。
したがって、(1)と(2)の連立方程式となるので、aとpが求められます。
{(1)の式}*{(2-p)^2}-{(2)の式}*{(1-p)^2} でaが消去でき、pの方程式となります。

No.1 回答者： nozomi500 回答日時： 2002/01/20 08:24

aとpと、未知数が２つならば、２点の（x,y）で連立方程式を解けばでませんか？