グラフの平行移動の問題で y=2x²－5x＋3のグラフを、x軸方向に－2 y軸方向に1だけ平行移動す

グラフの平行移動の問題で
y=2x²－5x＋3のグラフを、x軸方向に－2
y軸方向に1だけ平行移動する時、移動後の放物線を求めよ


こういう場合y=2x²－5x＋3を平方完成してやるやり方を教えてください

No.11 回答者： stomachman 回答日時： 2023/10/20 12:38

二次関数だからどうだ、ということはありません。

　どんなグラフであれ、「グラフを、x軸方向に－2、y軸方向に1だけ平行移動する」というのは、「座標軸をx軸方向に2、y軸方向に-1だけ平行移動する」ということと同じ。

　さらに言い換えれば、、
　　X = x - 2
　　Y = y + 1
を満たすX, Yを使った座標系(X,Y)でグラフを描くということです。
　だから
　　x = X + 2
　　y = Y - 1
をグラフの式に代入してx, yを消去すればよし。

　で、最後に、X, Yを x,yに書き換えれば完成。

No.10 回答者： sc348253 回答日時： 2023/10/20 11:34

y=2x^2 -5x+3=(x-1)(2x-3)=2{(x^2 -(5/2)x}+3=2{x-(5/4)}^2 -2・(25/16)+3=2{x-(5/4)}^2 -25/8 +3=2{x-(5/4)}^2 -1/8

なので　頂点は　(5/4 , -1/8) だから　x軸方向に－2　y軸方向に1
だけ頂点を移動すればいいので　平行移動した頂点は(5/4 -2 , -1/8 +1)
=(5/4 -8/4 , -1/8 +8/8)=( -3/4 , 7/8 ) なので
移動後の放物線は　2(x+3/4)^2 +7/8 =2x^2 +3x +2

https://oshiete.goo.ne.jp/qa/13621937.html
を参考に　他では
グラフを書いてみるとか
微分
座標変換　などのやり方も可能でしょう！
全ての座標で　(x,y)→(x-2,y+1)　なので
x-2=X , y+1=Y と新な座標にすれば
x=X+2 , y=Y-1 なので y=2x^2 -5x+3 に代入したら　　
y+1=2(X+2)^2 -5(X+2) +3+1
Y=2X^2 +3X +8-10+4=2X^2 +3X +2
故に　移動後の放物線は　y=2x^2 +3x +2

No.9 回答者： tknakamuri 回答日時： 2023/10/20 08:59

y=f(x) を (a, b) だけ平行移動すると

y-b = f(x-a)
変形して
y = f(x-a) + b

になります。多分これの方が簡単で速いし
2次式以外にも使えるので応用範囲が広い。

2次式が平方完成形式の

　y = p(x-q)^2 + r (頂点が q, r)

の場合

(a, b) だけ平行移動すると
頂点は (a, b) だけ動くはずだから

y = p(x-q-a)^2 + r + b

となります。

No.8 回答者： yhr2 回答日時： 2023/10/19 22:52

No.1 です。

あらら、すみません。「y軸方向に1だけ」という部分を見そこなっていました。

それを含めて、全文改訂します。

＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊

まず、平方完成させます。
そして「頂点の座標」を平行移動すればよいのです。

y = 2x^2 - 5x + 3
　= 2(x - 5/4)^2 - 1/8

そうすれば、頂点の座標が (5/4, -1/8) であることが分かります。
この頂点をｘ軸方向に -2、ｙ軸方向に +1 平行移動すれば、頂点の座標は
　(5/4, -1/8) → (-3/4, 7/8)
になります。

この放物線の式は
　y = 2(x + 3/4)^2 + 7/8
です。
これを展開すれば
　y = 2x^2 + 3x + 9/8 + 7/8
　　= 2x^2 + 3x + 2

検算すれば、変換前の式を
　Y = 2X^2 - 5X + 3
と書いて、変換後の変数を
　y = Y + 1, x = X - 2
とすれば
　X = x + 2
　Y = y - 1
なので
　y - 1 = 2(x + 2)^2 - 5(x + 2) + 3
　　= 2x^2 + 8x + 8 - 5x - 10 + 3
　　= 2x^2 + 3x + 1
→　y = 2x^2 + 3x + 2
合ってますね。

No.7 回答者： kairou 回答日時： 2023/10/19 21:07

平方完成してもしなくても 計算の仕方は 同じです。

平方完成した方が 計算がめんどくさい です。
x → x+2, y → y-1 にすれば 良いです。

この回答へのお礼

平方完成バージョンが気になってしまったw

お礼日時：2023/10/19 21:48

No.6 回答者： ssawatake 回答日時： 2023/10/19 20:49

No.2の続き

移動をモット根本的にやると。
下図はグラフを(a,b)だけ移動する様子を表してます。

グラフから座標を見ると、(x,y)座標が(-a,-b)移動してる訳。
だからy=f(x)の座標を(-a,-b)動かせばよいわけです。
⇒　(y-b)=f(x-a)とすれば、どんな関数でも使えるのです。

y=2x²－5x＋3を平方完成しなくても（2,-1)座標を動かせば良いので

(y-1)=2(x+2)²-5(x+2)＋3とすればokです。

No.5 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/10/19 20:48

いや、普通に...

y=2x²－5x＋3 上の点 (u,v) をとると
v=2u²－5u＋3 が成立してて、この点を
x軸方向に－2、y軸方向に1だけ平行移動
した点を (x,y) とすれば u-2=x, v+1=y.
この x,y が満たすべき式は、式から
u,v を消去して y-1=2(x+2)²－5(x+2)＋3.
括弧を展開とかは、したけりゃすればいいし、
しなくてもいい。

No.4 回答者： ssawatake 回答日時： 2023/10/19 20:48

No.2の続き

移動をモット根本的にやると。
下図はグラフを(a,b)だけ移動する様子を表してます。

グラフから座標を見ると、(x,y)座標が(-a,-b)移動してる訳。
だからy=f(x)の座標を(-a,-b)動かせばよいわけです。
⇒　(y-b)=f(x-a)とすれば、どんな関数でも使えるのです。

y=2x²－5x＋3を平方完成しなくても（2,-1)座標を動かせば良いので

(y-1)=2(x+2)²-5(x+2)＋3とすればokです。

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/10/19 20:09

y

=2x²-5x+3
=2(x²-5x/2)+3
=2(x-5/4)²-25/8+3
=2(x-5/4)²-1/8

頂点(5/4,-1/8)
を
x軸方向に-2
y軸方向に1
だけ平行移動すると
5/4-2=-3/4
-1/8+1=7/8

頂点(-3/4,7/8)

y=2(x+3/4)²+7/8
∴
y=2x²+3x+2

No.2 回答者： ssawatake 回答日時： 2023/10/19 19:52

y=○(x+A)+Bの形にして、(x,y)を(a,b)移動するには

y=○(x+A-a)+B+b　にする

この回答へのお礼

なるほど！

お礼日時：2023/10/19 20:02