ポアソンの式，ラプラスの式を楕円型微分方程式というのはなぜ？

なんで楕円型というのでしょうか？
単に楕円の公式と形が似ているからでしょうか？

どなたか教えていただけませんか？

No.1 ベストアンサー 回答者： KENZOU 回答日時： 2003/12/04 22:16

楕円、放物線、双曲線は２次曲線と呼ばれており、一般に

　ax^2+hxy+by^2+gx+fy+c＝0　　　(1)
と書かれます。(1)の2次式は各係数の関係により楕円（円）となったり、放物線、双曲線になります（2直線になるケースは除く）。この辺の事情を整理すると
　h^2－ab＜0・・・楕円　　　　(2)
　h^2－ab＞0・・・双曲線
　h^2－ab＝0・・・放物線
(1)式だけ眺めていても楕円や双曲線、放物線が見えませんが、適当に座標回転や平行移動して式を変形していくと現れてきます。その際、(2)の関係でいろいろな2次曲線となっていく訳ですね。
2次元ラプラスの式は
　　∂^2u/∂x^2＋∂^2u/∂y^2＝q(x,y)　　(3)
これを(1)の式と比較し、それぞれ無理やり対応させてその係数を見るとa＝1，h＝0，b＝1，g＝0，f＝0，c＝0となりますね。そこで(2)を計算すると
　h^2－ab＝－1＜0　　(4)
となって、これは楕円に相当するので上の偏微分方程式は楕円型と呼ばれます。
　∂u/∂t＝k^2(∂u^2/∂x^2)　　(5)
は放物線型と呼ばれ、
　∂^2u/∂t^2＝k^2(∂^2u/∂x^2)　　(6)
は双曲線型と呼ばれていますが、何故そう呼ばれるのか検討してみてください。

この回答へのお礼

ありがとうございました。
イメージはわかりました。

お礼日時：2003/12/20 21:11