どうして放物線ですか？

天体に物体が速度をもって近づくとき、その物体の軌跡には、3種類あって、物体の速度の方向や大きさによって、双曲線か楕円か放物線になると聞いたことがあります。

双曲線というのは、物体が天体に接近したあと、どんどん離れていくということですよね。

楕円というのは、物体が天体の重力にとらわれて、天体の周回軌道にのるということですよね。

違っていたらすみません。

ところで、放物線というのは、物体が天体に落下していき、やがて、天体に衝突するような軌跡のことですか。

だとしても、本当に放物線になるのでしょうか。
放物線というのは、
y=ax^2+bx+cの形ですよね。本当に、それになりますか。

放物線というのは、地表付近で重力加速度が近似的にどこでも同じ場合だけと思っていましたが、高度によって重力が違う場合でも、放物線になるのでしょうか。しかも、力がかかる方向も(地表付近のようにいつも真下というのではなく)、刻々と変化します。そんな状態で、本当に放物線になるのでしょうか。

そもそも、3種類の軌跡になるという、もとの式があると思います。(初期条件を変えると3種類になるのだと思います。感覚的にピンとくるのは楕円だけです。双曲線も、どうしてそうなるのかわかりません)

その、もとの式はどのようなものですか。もとの式を教えてください。

そして、その式の初期条件を変えると、放物線とか、双曲線とか、楕円になることを示してください。

質問者からの補足コメント

• No.1さんに、うまく返信できないので、ここに書きます。
  
  双曲線も楕円も放物線も近似だったのですか。
  
  ちなみに、
  もとの式のたてかたは、
  x方向の運動方程式とy方向の運動方程式を立てて、その微分方程式をといて、媒介変数などを消去して、xとyでの式にするということでいいのでしょうか。
  
  (原点は天体の重心として)
  x方向の方程式
  GmM/(x^2)=m(位置xでの加速度)
  ※2階微分をうまく表記できないので、そう書きました。
  
  y方向も同様

    補足日時：2023/06/11 10:55

• 円と楕円は別物扱いですか。円は楕円のうちに含めていました。

    補足日時：2023/06/11 14:16

No.15 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/06/12 08:46

別に極座標系でなくてもよいが、一般の考察はそれなので。

おかしいな? いつもならストーカがたかってくるはずなのに。

No.14 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/06/12 07:41

すなおになることです

No.13 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/06/12 06:24

そんなことあり得ない。

すなおに考えればよい。

No.12 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/06/11 23:07

違います

No.11 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/06/11 22:03

もっとも簡単な自明な解。

No.10 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/06/11 21:15

いわれるすじあいはない

No.9 回答者： tknakamuri 回答日時： 2023/06/11 20:40

小学校では円は楕円ではないと教えますね。

中学では円は楕円であると教えます。

所謂「包摂による分類」は小学校では
教えてはいけないことになっているからです。

No.8 回答者： chiha2525 回答日時： 2023/06/11 19:21

円は楕円の特殊な場合ですね。

ニュートンの時代には、パトロン（金持ち）が新聞に問題を出し解決した人に賞金を出す、なんてことを良くしていたそうです。
ニュートンの友人にもそのような人がいて、ある時ニュートンに「『惑星の軌道が円軌道ではなく楕円軌道であるのは何故か？』という問題を出そうと思うのだけれども、どう思う？」と聞いたそうです。

するとニュートンは、
「それならもう２年前に計算してある」
と答えたとかｗ

No.7 回答者： stomachman 回答日時： 2023/06/11 19:21

放物線軌道の焦点の位置が「天体」の重心です。

だから「楕円軌道の一方の焦点が無限遠にある」というのと同じ。「天体」の表面が軌道と交点を持つなら衝突するし、「天体」それより小さければ衝突しない。後者の場合、無限の彼方から飛来したモノが「天体」をくるりと回ってまた元来た方の無限の彼方へ飛び去っていく、ということです。（双曲線軌道でも同じように飛び去っていくわけですが、飛び去る方角が「元来た方」ではない。）

　それじゃ、地上でキャッチボールやってるときのボールの軌道を「放物線」と言ってるのは、一体どういうことか。
　仮に地球が小さな星だったとして、その中心から数千kmの上空でキャッチボールをやってると思ってみる。すると、ボールの軌道は楕円で、その一方の焦点が地球の重心にある。ボールを投げてからキャッチするまでの軌道はその楕円のごく一部分（長軸をよぎる部分）だけを見ているわけです。ところが、この楕円はものすごく細長いので、長軸の先っちょだけに限定すれば、ほとんど放物線と見分けがつかない。なので、キャッチボールの軌道を放物線で近似しても、誤差は微々たるものである。そして、楕円より放物線の方がずっと簡単な曲線である。だから放物線で済ませている、という事情です。
　別の見方をしますと：実際には地球は丸いし、重力も一様ではない。でも、ヒトがボールを放り投げる程度の規模では、「大地が平らで重力がいたるところ一様」だと近似しても差し支えない。そして、もしも大地が平らで重力がいたるところ一様なら、キャッチボールの軌道は確かに放物線になる。

No.6 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/06/11 19:04

極座標の運動方程式で無視されているものを調べること。