No.3ベストアンサー
- 回答日時:
求める放物線は、(1+t^2)y=(xーt^2)^2 ‥‥(1)になる事くらいはわかるだろう。
そうすると、これをtの方程式と見て、t^2=mとすると、m≧0.
(1)を整理すると、f(m)=m^2-(2x+y)m+(x-y^2)=0が、m≧0の解を少なくても1個も持つと良い。
(1) m≧0の解を2個持つとき
判別式≧0、2解の和≧0、2解の積≧0 が条件 → y(y+4x+4)≧0、y+2x≧0、x-y^2≧0
(2) m≧0の解が1個の時
2解の積≦0 が条件 → x-y^2≦0
以上、(1)と(2)をxy平面上に図示すると良い。
考え方は、動くもの つまり t の方程式と考えるところが基本。それに t^2≧0 が加味された問題。
No.2
- 回答日時:
点(t^2, 0)でx軸に接する放物線は
y=a(x-t^2)^2 …(1)
とおける。(1)が点(-1, 1+t^2)を通ることからこの座標を(1)に代入すると成立する。
1+t^2=a(-1-t^2)^2
1+t^2=a(1+t^2)^2
1+t^2>0なので両辺を(1+t^2)^2 で割ると
a=1/(1+t^2) …(2)
(2)を(1)に代入すると
y=(x-t^2)^2/(1+t^2) …(3)
tは実数なので y≧0 …(4)
これをt^2について解くと
y+yt^2=t^4-2xt^2+x^2
t^4-(2x+y)t^2+x^2-y=0
t^2=u(≧0)と置くと
f(u)=u^2-(2x+y)u+x^2-y=0
u(≧0)の実数条件から
判別式D=(2x+y)^2-4(x^2-y)=(y+4x+4)y≧0
(3)からy≧0なので y+4x+4≧0 …(5)
f(0)=x^2-y≧0の時 u≧0の2実解(重解含む)条件は 軸:u=(2x+y)/2≧0
∴-2x≦y≦x^2 …(6)
f(0)=x^2-y<0の時 u≧0で常に1実解
∴y>x^2 …(7)
(4),(5),(6)まとめて求める放物線の通り得る範囲は
x<0の時 y≧x^2
x≧0の時 y≧0
この範囲の図示は出来ますね。
No.1
- 回答日時:
>点(t^2, 0)でx軸に接し、点(-1, 1+t^2)を通る放物線
の方程式は
t^4-(2x+y)t^2+x^2-y=0
z=t^2とおくと
z^2-(2x+y)z+x^2-y=0
この2次方程式が
正または0の実解を持つ条件
(1)判別式≧0
y(y+4x+4)≧0
(2)中心軸が≧0
2x+y≧0
(3)y軸との交点のy座標≧0
x^2-y≧0
これらを図示すればよい。
等号が入らない場合もあるかもしれないので確認してください。
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