aを正の定数とし、定義域0<X<4における二次関数f(x)＝X^2－2aX＋2a＋3の最大値をＭ、最

aを正の定数とし、定義域0<X<4における二次関数f(x)＝X^2－2aX＋2a＋3の最大値をＭ、最小値をｍとする。0<a<2のとき、Ｍ＝－6a＋19
0<a<=4のとき、ｍ＝－a^2＋2a＋3

Ｍ－ｍ＝6となるのは、a＝√6または、a＝4－√6の時である。

なんでa＝√6または、a＝4－√6になるのかわかりません。教えてください！

No.2 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2017/01/06 21:14

まず、y=f(x) のグラフを書くことを考えましょう。

もちろん、a の値によってグラフは変わりますが、「下に凸（上に開く）放物線であること」は確実です。ここのところはわかるかな？

「下に凸（上に開く）放物線」であれば、その頂点が「定義域の範囲内」にあれば、頂点が「最小値」になります。最大値は、定義域の「両端」のうちの大きい方です。

頂点が「定義域の範囲内」になければ、定義域では「単調増加」か「単調減少」のどちらかです。定義域の一方の端が最小値、他方の端が最大値になります。
頂点が定義域より「下」にあれば放物線は定義域では「単調増加」だし、頂点が定義域より「上」にあれば放物線は定義域では「単調減少」です。

以上から、放物線の「頂点」がどこにあるかがポイントであることが分かりますね？

f(x) = x^2－2ax＋2a＋3
　　= (x - a)^2 - a^2 + 2a + 3

なので、y=f(x) の頂点は (a, -a^2 + 2a + 3) であることはわかりますか？

以上から、定義域が 0<x<4 で、0<a<2であれば、頂点は「定義域の範囲内」ということです。
従って、x=a で最小値になります。
また、頂点は定義域の「左半分」（定義域の小さい方の半分）にあるので、大きい方の端 x=4 で最大値になることもわかります。ただし、 0<x<4 では x=4 になりえないので、定義域は 0<x≦4 ではありませんか？

よって、定義域が 0<x≦4 として
　m = f(a) = -a^2 + 2a + 3
　M = f(4) = 16 - 8a + 2a + 3 = 19 - 6a

さらに、0<a≦4のときにも頂点は「定義域の範囲内」なので x=a で最小値であり、上と同様に
　m = f(a) = -a^2 + 2a + 3
です。最大値は、
　0<a≦2 のとき　M = f(4) = 16 - 8a + 2a + 3 = 19 - 6a
　2<a≦4 のとき　M = f(0) = 2a + 3
です。

上に書いたように
(1)　0<a≦2 のとき　M - m = (19 - 6a) - (-a^2 + 2a + 3) = a^2 - 8a + 16
　これが a^2 - 8a + 16 = 6 になるのは
　　a^2 - 8a + 10 = 0
より
　　a = [ 8 ± √(64 - 40) ]/2 = (8 ± √24)/2 = 4 ± √6
0<a≦2 の範囲内にあるのは
　　a = 4 - √6

(2)　2<a≦4 のとき　M - m = (2a + 3) - (-a^2 + 2a + 3) = a^2
　これが a^2 = 6 になるのは
　　a = ±√6
2<a≦4 の範囲内にあるのは
　　a = √6

以上より、M - m = 6 となるのは、a = √6 または、a = 4 - √6 の時である。

No.1 回答者： お茶碗持つ方 回答日時： 2017/01/06 21:05

まず、定義域の両端は等号を含んでいないと最大値は求められません (0<=X<=4)。

含まれているという前提で以下進めます。

f(X)=X^2-2aX+2a+3
=(X-a)^2-(a-1)^2+4

a<2 の時、放物線の軸は定義域の中間点から左側に寄っているので最大値は、

M=f(4)=-6a+19

0<a<=4 の時、放物線の頂点(a, -a^2+2a+3) は定義域に含まれているので、そこが最小値

m=-a^2+2a+3

となる。
また、例題にはないが 2<=a の時は、放物線の軸が定義域の中間点から右に寄っているので最大値は、

M=f(0)=2a+3

となる。
一方 a<=0 の時は放物線の軸が定義域から外れるため、最小値は

m=f(0)=2a+3

4<=a の時は

m=f(4)=-6a+19

である。

i) a<=0 の時:

M-m=-8a+16=6
a=5/4 (不適)


ii) 0<a<2 の時:

M-m=a^2-8a+16=6
(a-4+√6)(a-4-√6)=0
0<a<2 より、
a=4-√6

iii) 2<=a<4 の時:

M-m=a^2=6
2<=a<4 より、
a=√6

iv) 4<a の時:

M-m=8a-16=6
a=11/4 (不適)