No.3ベストアンサー
- 回答日時:
"10のn剰(nは自然数)は200!を割り切る。
"と言うのはつまり、
"200!を計算するとお尻に0がn個並ぶ"って事です。
お尻に0がつくためには10を掛ける必要があります。
ココで、10って言うのは2×5の事です。
じゃあ、1×2×3×4×・・・・×200、の過程で何回、2と5を掛けたか?
っていうのがこの問題です。
だから、1から200までの数をそれぞれ素因数分解して、2と5のペアの数を数えればいいワケです。
しかし当然のことながら、2より5の方が少ないので、結局5の数を数えればいいのです。
(例えば、男が10人女が7人の場合、男女のペアは7組で、男が3人余ります)
具体的にいくと、
25!
=1*2*3*4*5*6*7*8*9*10*11*12*13*14*15*16*17*18*19*20*21*22*23*24*25
=1*2*3*(2*2)*(2*3)*7*(2*2*2)*(3*3)*(2*5)*11*(2*2*3)*13*(2*7)*(3*5)*(2*2*2*2)*17*(2*3*3)*19*(2*2*5)*(3*7)*(2*11)*23*(2*2*2*3)*(5*5)
となり、2が22個と5が6個です。
なので0が6個並ぶのです。
実際、15511510043330985984000000となります。
余談ですが、数学オリンピックの過去問に似た問題があった気がします。
2000!の最後に0は何個並ぶか、見たいな感じのが。
No.2
- 回答日時:
200!を素数の積で表したとき5はいくつあるでしょうか。
(_は桁をそろえるためです,無視してください)
_ 200÷5=40 … 5 の倍数の個数
__ 40÷5= 8 … 5^2の〃
___ 8÷5= 1 … 5^3の〃
ゆえに,5は49個ある。
同様に2の個数を数えると(No1さんが書いたように,数えなくてもいいのですが,念のため)
_ 200÷2=100
_ 100÷2= 50
__ 50÷2= 25
__ 25÷2= 12
__ 12÷2=_ 6
___ 6÷2=_ 3
___ 3÷2=_ 1
ゆえに,2は197個ある。
200!=2^197×5^41×(2,5以外の素数たち)
___ =10^41×2^156×〃
したがって,200! は末尾に0が41個並び,そのすぐ左の数字は0以外の偶数です。
(最後の部分はどこかの入試で出ていたので追加しました。)
No.1
- 回答日時:
階乗ですから,1,2,3,4,5の中に2の倍数が必ずあります.もちろん,6,7,8,9,10の中にも2の倍数が必ずあります.以降も
同じでしょう.すなわち,5が1個あるごとに,10をつくるために十分な2があるということです.あとは,2×5が10だということから推測できると思います.もちろん4×25は100ですし,・・・(以下省略).ちなみに,5の個数を数えるというより,5の倍数の個数を数えるという表現の方が正確ではないでしょうか.55という数字は,5が2個ありますが,この解説の意図では5は1個分でしょう.お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
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