収束に関する問題です。
数列{n+1/2n+1}が1/2に収束することを証明しなさい。
(証明)
lim n→∞(n+1/2n+1)=lim n→∞(1/2+1/4n+2)=1/2
任意の正数εに対し、アルキメデスの定理より
N+1>1/ε つまり 1/N+1<ε
をみたす自然数Nが存在する。
また、n>Nであるすべての番号nに対し、
|(1/2+1/4n+2)-1/2|=1/n+1
<1/N+1<ε
すなわち
|(1/2+1/4n+2)-1/2|<ε
これは、極限値の定理より、
lim n→∞(1/2+1/4n+2)=1/2
である。よって、数列{n+1/2n+1}は上に有界
な単調増加。
(証明終)
どこかまずい所があれば教えてください。お願いします!
No.3ベストアンサー
- 回答日時:
アルキメデスの原理きわめて自明なことを言っているので改めて記述する必要はないのでは。
このような問題でアルキメデスの原理をからめているのは見かけません。悪いことではないと思いますが多分、先生の趣味の範疇と思うのですが。
アルキメデスの原理は色々書き方があるようなのですが「任意の2つの実数a>0,b>0にたいしてna>bとなる自然数が存在する」からa=1,b=1/εを考えれば大体よいのでは。
本題ですが「収束の定義」とはε法と思います。補足の記述をみると最後の記述に違和感を感じます。
(証明)
任意の正数εに対し、アルキメデスの定理より
N>1/ε つまり 1/N<ε
をみたす自然数Nが存在する。
また、n>Nをみたすすべての自然数nに対し、
|(n+1)/(2n+1)-1/2|
=|1/2+1/(4n+2)-1/2|
=1/(4n+2) ***前回ここがミスでしたm(_ _)m
<1/N<ε
ここで、1/(4n+2)<1/(4n)<1/n<1/Nを使った。
すなわち
|(n+1)/(2n+1)-1/2|<ε
となり、定義より数列 (n+1)/(2n+1)
は1/2に収束する。
(証明終)
しかし、これも私の趣味か?
No.2
- 回答日時:
証明がてんこ盛り。
三段重ねが無関係に並べてあるように見えます。limによる証明。ε法による証明。下に有界な単調減少数列による証明。
設問はどれを指定または期待しているのでしょうか。
あと正確にするなら次のようになるでしょうか。
|(1/2+1/(4n+2)-1/2|
=1/(2(n+1))<1/(n+1)
ε法は
|an-a|<εがいえたところで証明は終わりです。
この回答への補足
問題は「数列の収束の定義に戻って証明せよ」となっています。もう一度やり直したので見てください。
(証明)
任意の正数εに対し、アルキメデスの定理より
2(N+1)>1/ε つまり 1/2(N+1)<ε
をみたす自然数Nが存在する。
また、n>Nであるすべての番号nに対し、
|(1/2+1/4n+2)-1/2|=1/2(n+1)
<1/2(N+1)<ε
すなわち
|(1/2+1/4n+2)-1/2|<ε
これは、極限値の定理より、
lim n→∞(1/2+1/4n+2)=1/2
になる。
(証明終)
アルキメデスの定理の部分がよく分からないんですが。
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 数学 無限等比数列 r^n の収束・発散の ε-N による証明 2 2023/02/07 13:35
- 数学 三角関数の極限を「はさみうちの原理」で考える時の不等号について 1 2022/07/22 01:13
- 数学 微分可能 連続 わからない 3 2022/06/22 17:22
- 数学 1より大きい実数からなる数列{a[n]}がlim[n→∞]a[n]=1をみたしています。 xy平面上 2 2023/06/10 11:47
- 数学 有限な値を取るための条件って一般化できるのでしょうか 6 2022/08/25 15:45
- 数学 ①lim x→∞で1/xだった場合は発散しないため限りなく0に近い解が求められるのでしょうか? 例え 7 2022/05/16 19:27
- 数学 回答の意味について 3 2023/07/06 14:14
- 数学 関数列の収束について 次の問題を教えて欲しいです。 区間[0,1) の関数列fnと関数f(x)につい 1 2022/06/01 08:33
- 数学 数3の極限の問題です。 ①lim(x→1) 2/(x-1)^2 ②lim(x→2) 3/x^2-3x 2 2022/11/30 10:26
- 数学 数学Ⅲの関数の極限、関数の連続・不連続に関しての質問でございます。 問題集には、次の関数の〔 〕内の 5 2022/05/19 10:43
おすすめ情報
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
rankに関する証明問題です。
-
有理数と無理数が無限個あること
-
証明終了の記号。
-
数学の「証明」のときなどの接...
-
よって・ゆえに・したがって・∴...
-
数学の証明問題で、「証明終了」...
-
無理数って二乗しても有理数に...
-
夫が亡くなった後の義理家族と...
-
「証明証」と「証明書」はどう...
-
原始関数の存在性の証明につい...
-
素数の性質
-
じゃらんで旅行予約をしたので...
-
ランダウの記号
-
(4^n)-1が3の倍数であることの...
-
liman=a(n→∞)、limbn=b(n→∞)な...
-
古文単語の「あいなし」の現代...
-
巡回群と巡回群の直積は巡回群?
-
ピタゴラスの定理は辺の長さが...
-
非該当証明書と該非判定書とい...
-
AB=E ならば BA=E の証明
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
数学の「証明」のときなどの接...
-
3,4,7,8を使って10を作る
-
証明終了の記号。
-
婿養子に入ったのに出て行けと...
-
数学の証明問題で、「証明終了」...
-
「証明証」と「証明書」はどう...
-
素数の積に1を加算すると素数で...
-
夫が亡くなった後の義理家族と...
-
よって・ゆえに・したがって・∴...
-
学割定期を親に買ってきてもら...
-
(4^n)-1が3の倍数であることの...
-
再婚、奨学金
-
素数の性質
-
なぜ独身だと養子が持てないの...
-
元夫が彼女の存在を隠す理由
-
成人した後両親が離婚し別の人...
-
大学の給付型奨学金について 現...
-
直角三角形の性質
-
通学証明書の契印とは
-
無理数って二乗しても有理数に...
おすすめ情報