No.4ベストアンサー
- 回答日時:
もし、21aと21bを41で割った余りが同じとなるようなa,bが1~41の間にあるとする。
すると、21(a-b)は41の倍数である。(余りが同じなので)ここで、21と41は互いに素(最大公約数が1)なので、a-bは41の倍数である。
さて、ここで、a-bの範囲は-40~40の間にしかなり得ないので、41の倍数となるa-bはa-b=0以外にありえない。つまりa=bである。
これを逆に読めば(数学的には「対偶をとると」・・・中学生なら「対偶」という言葉は知らないかもしれませんが^^;)、21n(1≦n≦41)を41で割った余りはnが異なるとすべて異なる(どの2つをとっても余りが一致することはない)ということがいえます。
ところで、余りは全部で当然41通りしかないので、
・41個の余りがすべて違う
・余りは0~40の41通りしかない
ということで、すべての余りが1回ずつ出現することが示せます。
つまり議論の根幹は、21と41が互いに素であることに尽きます。
こんなんでどうでしょうか?!
No.7
- 回答日時:
たしか、大学への数学の特別版(?)みたいなので、
「マスターオブ整数」ってゆうのが有ると思う。
その本に、あなたの質問の、けっこう面白い説明がのっていたとおもう。
とりあえず、でかめの本屋で探してみて、立ち読みすべし。
君なら他のページにも興味を覚えるかもしれない。
http://www.tokyo-shuppan.co.jp/products/d_zoukan …
参考URL:http://www.tokyo-shuppan.co.jp/products/d_zoukan …
No.6
- 回答日時:
問題読み間違えてました。
ごめんなさい。お詫び代わりにもならないのですが、少し横やりを^^;
「合同式」というのは、
a ≡ b (mod n) : a と b は n を法にして合同
というような奴で、ガウスさんが考えたんだったと思います。
例えば、時間の「分」は60を法にしていますし、「アナログ時計の時針」は12を法にしています。
参考になりそうなURLをあげておきます。
http://www.my-j.net/~jmaeda/conmath/chp11/chp11. … フェルマーの小定理も扱われていますし、証明はありませんが、この問題が扱われています。
http://www.sur.ac/faq/mod.html フェルマーの小定理も扱われています
http://www.hcn.zaq.ne.jp/funahide/math/mod.html
参考URL:http://www.my-j.net/~jmaeda/conmath/chp11/chp11. … http://www.hcn.zaq.ne.jp/funahide/math/mod.html
No.5
- 回答日時:
同じ余りが出てくると仮定すると矛盾することを示します
21と41が、互いに素なことが重要です
例えば、1≦m<n≦41を満たすm,nに対して
41で割るとき21nと21mの余りが同じだとします。
21n=41A+r
21m=41B+r
両辺を引くと
21(n-m)=41(A-B)
また21と41は互いに素より、n-mは41の倍数になる
すなわち、矛盾します。(n,mは、異なりともに41より小さい)
したがって、余りが同じものはなく全部異なることになります。
証明で納得いかなければ、円状に0から40までの数字を書き
21ごとにぬりつぶしていけば均等にぬりつぶせるばずです。
この分野を勉強するには合同式を理解したほうがいいです
中学生にも理解できると思います。
また、この事実よりフェルマの小定理が証明されます。
この回答へのお礼
お礼日時:2002/03/29 16:53
ありがとうございました。
中学生にも理解可能です。
中学生といってももう高校生なので、逆に分からなければ・・・。
とにかくありがとうございました。
No.3
- 回答日時:
ぶっちゃけた話、整数が1おきに並んでいるからです。
厳密な話はさておき、p,n,mを整数とします。
また、p を n で割った余りを p % n で表すことにします。
このとき
p % n = np % n (∵ p=p'×n + m とすると p/n = p' 余り m)
(p+1) % n = (p % n) + 1) % n (∵p=p'×n + m とすると (p+1)/n の余りは (m+1)/n の 余り )
(ややこしいですが、一周した場合も考えると、最後の % n が必要です)
が成り立ちます。
つまり、整数p は1ずつふえるとき、余りm も1ずつ増えていきます。ところが、余りm が 割る数n と等しくなったとき、余りは再び 0 に戻ります。
そのため、余りは 0,1,2,…,n-1 を繰り返すわけです。
おおざっぱな割に、ちょっとややこしくなってしまいました(ごめんなさい
わかりにくいところがあれば、補足をお願いします。
No.2
- 回答日時:
21を2倍してみましょう。
42でしょ?そうすると、41で割ると、42は余り1です。
はい、では、nが偶数の時と奇数の時に分けて考えましょう。
nが、2,4,6,8,・・・,40の時、
余りは1,2,3,4,・・・,20ですね。
奇数の時、まず、n=1なら21が余りということになります。
nが、1,3,5,7,・・・,39の時、
余りは21,22,23,24,・・・,40になります。
そして、nが41の時は割り切れます。
つまり、余りが41通り出るのは、こういう規則性があるからです。
「数学的帰納法」というので説明すると楽なのですが、なにぶん中学3年では習っていないでしょうから、なかなか説明しづらいですね。
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