No.3ベストアンサー
- 回答日時:
+∞に発散します。
証明方法は色々ありますが、個人的に一番分かりやすそうなものを一つ挙げます。
まず、
∞
Σ 1/n
n=1
ですので、
1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 + …… ―― (1)
です。さて、ここで
1/3 > 1/4
1/5 > 1/6 > 1/7 > 1/8
ですので
1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 + ……
> 1 + 1/2 + 1/4 + 1/4 + 1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8 + …… ―― (2)
(2)は(1)の1/3を1/4に置き換え、
1/5、1/6、1/7を1/8に置き換えたものです。
(2)の1/4同士、1/8同士足し合わせて
(2) = 1 + 1/2 + 1/2 + 1/2 + ……
(1)の1/9以降でも同じような作業で1/2を作り出せるので、
(1/9~1/16までを、全部1/16に置き換えると1/16が全部で8個なので足し合わせると1/2になる)
(2)の無限和は1/2が無限に出てくるわけですから正の無限大に発散します。
(1) > (2)の関係から、(2)がn→∞で+∞に発散するなら
(1)もn→∞で+∞に発散しますよね?
No.9
- 回答日時:
このような無限調和級数の総和が発散することは
微分積分学では基礎的なことです。証明はNO2,
NO3さん方法で十分です。この問題は無限がからんでいるので直観力より論理的に考えなければならない典型的な例です。
No.7
- 回答日時:
発散します。
これは調和級数とよびます。
一般に第n項an≧0 an↓のとき
∞
Σ an が収束ならば
n=1
lim(n→∞)n・an=0が成り立ちます。
対偶は
lim(n→∞)n・an≠0ならば
∞
Σ an は収束しない(この場合は発散)
n=1
です。
この定理を使えば
lim(n→∞)n・(1/n)=1≠0だから発散
となります。
証明はεーN論法というのでしますがイメージ的には
No.3さんの回答に準じます。
No.6
- 回答日時:
発散します。
数列{an}の第n項までの和をSnとすると
lim(n→∞)Snが収束するならばlim(n→∞)anは収束する
という命題が成り立ちます。この命題の逆は成り立ちません。
この無限級数は逆の反例になっています。
No.4
- 回答日時:
♯2です。
訂正します。1+1/2+1/3+...≦∫1/xdxであり ×
1+1/2+1/3+...>∫1/xdx[1~∞]です
y=1/xというグラフを書いて、x=1のところでx軸から
上に真っ直ぐ線を引くと曲線にぶつかります。
ぶつかったら、そこから右横に1だけ幅がある細い
長方形をとります。次に、x軸のx=2で同様なことをします。これを永遠と繰り返すと、出来上がった長方形
の面積全ての和が、1+1/2+1/3+...になります。
そして、その長方形の群れは、y=1/xというグラフ
より余分に上に突き出しています。つまり、y=1/xを
1から∞まで積分したものより長方形群の面積の和のほうが大きいということです
No.2
- 回答日時:
確かに項は0には近づきますが、『無限に足しこむ』
という、『無限』というところを考えなければなりません。答えは発散します。末項が0に近づく速さより、
加えられる速さのほうが早いということです。
1+1/2+1/3+...≦∫1/xdxであり、
[logx](1~∞)=∞です
No.1
- 回答日時:
答えからいうと収束します。
なぜなら、
∞
Σ 1/n =1+ 1/2 + 1/3 + …… +1/∞
n=1
であり、加えていく値が0に近づく、言い換えると、最後のほうは足しても値としてはさほど変化しない事になります。
よって、収束です。
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