九九の９の段について

先日，九九の表を見て小二の息子が次のことを言い出しました。
「９の段の答えは，一の位と十の位を足したら全部９になる！」
息子に言われて初めて気がついたのですが，これって何らかの式で証明できるんでしょうか？
ちょっと気になったのもので…。
ご存知のかた，よろしくお願いいたします。

（参考）
9*1=9　
9*2=18　→1+8=9
9*3=27 →2+7=9
9*4=39 →3+6=9
9*5=45 →4+5=9
9*6=54 →5+4=9
9*7=63 →6+3=9
9*8=72 →7+2=9
9*9=81 →8+1=9

No.4 ベストアンサー 回答者： tojyo 回答日時： 2006/06/17 11:29

あまりにも有名ですが・・・。

１０の位の数字をA、１の位の数字をBとします。
(例えば６９で考えるとA=６、B=９ですね。)
そうすると二桁の全ての数字は「１０＊A+B」と書けます。
この式は「１０＊A+B＝９＊A＋A+B」と変形できます。
「９＊A」は必ず９で割れますよね。
で、残りの「A+B」を考えると、「A+B」が９で割り切れれば、元々の「１０＊A+B」は必ず９の倍数になります。

これは何桁の数字でも同じで、それぞれの桁の数字を足して９の倍数になれば元の数も必ず９で割れます。つまり９の倍数になります。

同じことは３の倍数でも言えます。
例えば
３＊１＝３
３＊２＝６
３＊３＝９
３＊４＝１２→１＋２＝３
３＊５＝１５→１＋５＝６
３＊６＝１８→１＋８＝９
３＊７＝２１→２＋１＝３
３＊８＝２４→２＋４＝６
３＊９＝２７→２＋７＝９

この回答へのお礼

ありがとうございました。御礼が遅くなって申し訳ありませんでした。

お礼日時：2007/02/27 18:58

No.3 回答者： luune21 回答日時： 2006/06/16 12:43

9*n=(10-1)*n

　 =10n+（-n)
　 =10*(n-1)+(10-n)
よって、
10の位=(n-1)
1の位=(10-n)
(n-1)+(10-n)=9

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No.2 回答者： cap-a 回答日時： 2006/06/16 12:25

9は10－1であるために出来る数列です。

1の位1が減り、10の位で1が増えるためです。
8の段は1、7の段は2が少ない数列になります。

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お礼日時：2007/02/27 18:58

No.1 回答者： noname#22488 回答日時： 2006/06/16 12:20

小2年生にわかるかどうかわかりませんが、一応解説。

9をちょっと変形すると”10-1”ですね。
また九九ってのはようするに”その段を足して行く”ものです。
ここまではいいですか？
つまり、9の段の計算とは"10-1を足していく”ってことなんです。
するとどうなるか？
・+10されますから、十の位は+1
・-1されますから、一の位は-1
→+1と-1ですから相殺して0、つまり元の数（9のことです）のまま変わらないってことです。

この回答へのお礼

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お礼日時：2007/02/27 18:58