x^xは初等関数でしょうか

代数関数を第0級の初等関数
指数関数、対数関数を第1級の初等関数
第0,1級を1回合成して得られる関数の内第0,1級以外を第2級の初等関数
…（有限回）
と定義していっても初等関数にならないように思いましたがいかがでしょうか？
f(x)=x,g(x)=e^xとして
g。f(x)=g(f(x))=g(x)=e^xでありx^xではないので第2級の初等関数とは言えないと思います.

No.4 ベストアンサー 回答者： chiezo2005 回答日時： 2006/07/02 00:46

#1です。

専門ではないのでよくわからないのですが，
初等関数であるかそうでないかというのは何か重要なことなのでしょうか？
昔は数表で計算してましたから，実際に計算するときに初等関数で表せるかそうでないかは重要な問題だったと思われますが，今計算機が発達した時代，ガンマ関数だろうが，楕円関数であろうが，三角関数を計算するのとなんら変わりはありません。
確かに気分的に初等関数で書けると答えがでたぁという満足感があるのはたしかですが・・・

この回答へのお礼

ありがとうございます。

>初等関数であるかそうでないかというのは何か重要なことなのでしょうか？
とくにそういう訳ではありませんが、ただ純粋に数学的な興味です.ですが関数をクラス化することは意味のあることだと思います.

お礼日時：2006/07/02 06:40

No.3 回答者： chiezo2005 回答日時： 2006/07/01 23:10

＃１です

x*log(x)は初等関数同士の積ですから初等関数でしょう。

この回答へのお礼

ありがとうございます．
初等関数を厳密に定義には次のことを考える必要があると思います.
xlog(x)などが初等関数になることを要請しない場合は
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%96%A2%E6%95%B0% …
のような定義でもいいと思います.

xlog(x)なども初等関数になることを要請する場合は
これだけでは足りないような気がします.
ただ、付け加えるものを最小限に抑えるとしたら次のようなことを考えています.

高々n-1級以下の有限個の初等関数を変数とする多項式関数を第n級初等関数とする

これは最低限必要だと思いますがこれで十分なのか多項式関数の所を代数関数に変える必要があるのかどうかは疑問に思います.

お礼日時：2006/07/02 00:12

No.2 回答者： hrm_mmm 回答日時： 2006/07/01 23:03

x^x = e^ ( log(x^x) ) = e^ ( x* log(x) )

代数関数 と 指数関数、対数関数のみで記述できるから初等関数である。
回数定義は、入れ子をどうみるかですけど？

この回答へのお礼

ありがとうございます．
初等関数を厳密に定義には次のことを考える必要があると思います.
xlog(x)などが初等関数になることを要請しない場合は
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%96%A2%E6%95%B0% …
のような定義でもいいと思います.

xlog(x)なども初等関数になることを要請する場合は
これだけでは足りないような気がします.
ただ、付け加えるものを最小限に抑えるとしたら次のようなことを考えています.

高々n-1級以下の有限個の初等関数を変数とする多項式関数を第n級初等関数とする

これは最低限必要だと思いますがこれで十分なのか多項式関数の所を代数関数に変える必要があるのかどうかは疑問に思います.

お礼日時：2006/07/02 00:08

No.1 回答者： chiezo2005 回答日時： 2006/07/01 22:24

f(x)=x^xとして両辺のlogをとると

log(f(x))=xlog(x)
右辺を見ると明らかに初等関数ですよね。
だったら，
f(x)=e^(初等関数）
なので初等関数のような気がしますが・・・
なんか自分でもどうどう巡りしているような気がして？？？？あれ
っていう気がするのも確かですが・・・

この回答へのお礼

ありがとうございます．

f(x)=x^xとして両辺のlogをとると
log(f(x))=xlog(x)
∴ f(x)=e^(xlog(x))
よってx^xは3級の初等関数になるのですね.

ちょっと待って下さいよくよく考えたら
xlog(x)が初等関数になることは示せるでしょうか？

初等関数の定義の仕方が問題あるのでしょうか？

お礼日時：2006/07/01 22:35