ｆ（Ｘ）＝x^n+・・An-1*x+Anの多項式の関数には、必ずＦ（Ｃ）＝０となるＣが存在することの証明

ｆ（Ｘ）＝x^n+A1*x^n-1+・・An-1*x+An
ｎが奇数なら必ずＦ（Ｃ）＝０となるＣが存在するそうです。


先週から考えているのですが全くわかりません。
先生に聞きにいくと中間値の定理を使うということを聞いたのですがどう活用していいかわかりません。

知っておられる方教えてください。

No.1 ベストアンサー 回答者： Tacosan 回答日時： 2006/07/27 19:54

「奇数次の実係数代数方程式 f(x) = 0 には必ず実解がある」ことを証明したいんですね?

だとしたら中間値の定理を使うのが簡単ですねぇ.
n-1次以下を無視できるような, 絶対値の十分大きな (符号は正と負の両方を考える) 値を x に代入したときの f(x) の値の, 符号を考えてみてはどうでしょうか.

No.2 回答者： springside 回答日時： 2006/07/28 12:18

f(x)=x^n + A1*x^(n-1) + A2*x^(n-2) +・・・+An-1*x + An

=x^n*{1+A1*x^(-1) + A2*x^(-2) +・・・+An-1*x^(1-n) + An*x^(-n)}
（↑x^nをくくりだした）

なので、x→+∞のときには、f(x)→+∞です。
（x^n→+∞、｛｝部分→1なので）

次に、x→-∞のときには、f(x)→-∞です。
（nが奇数なのでx^n→-∞、｛｝部分→1なので）

以上により、十分大きなあるaに対してf(a)>0、十分小さなあるbに対してf(b)<0なので、中間値の定理により、f(C)=0となるb<C<aが存在します。