なぜ正方形？？

すべての辺の長さを足して20センチの正方形と長方形があります。どちらの面積が大きいか？という問題で、答えは正方形なんだそうです。
数字的に計算すれば正方形だとはわかるのですが、なぜ正方形の方が大きいのかがわかりません、教えて下さい。。。

No.1 回答者： nonestyle 回答日時： 2006/08/28 19:57

正方形の場合、20ｃｍという規定がありますから

一辺の長さは５ｃｍと決められます。そこで、面積をもとめると
５×５＝２５となって、面積は２５平方ｃｍとなります。
しかし、長方形の場合は、
縦を３ｃｍ、横を７ｃｍと仮にそうすると、
まず縦の辺は３＋３で６、横の辺の７＋７で１４、６＋１４は２０ですから、これで、規定の２０ｃｍになっていますよね。ここで、面積のもとめかたである「縦×横」をやってみると、
３×７＝２１となって、正方形よりも面積は小さくなります。
ほかにも
４×６＝２４、２×８＝１６、１×９＝９となるように、正方形の方が、すべての辺を足してと規定がある場合には、長方形よりも面積は大きくなるということになります。

No.2 回答者： 245689731 回答日時： 2006/08/28 20:02

あまりこういった回答は苦手なのですが、円周２０ｃｍの円形の面積を計算して下さい。

正方形より驚きの結果が出ると思います。

No.3 回答者： volveive 回答日時： 2006/08/28 20:12

ご質問の方は中学生（２～３年かな）以上でしょうか。

であれば、数学的な説明としては、関数により最大値を求めることでできます。

いっぺんの長さを x （0<x<10）とすると長方形の面積は
S=x*(10-x)
= -x^2 + 10x
= -1 (x-5)^2 + 25

となります。微分がわかれば、S を f(x) として微分し、x=5 で極大になることが計算で出ますが、そうでなくとも二次関数のグラフが欠ければ、ｙ=-x^2+10x のグラフが、x=5 で頂点（面積が一番大きくなる）ことを確認できるでしょう。

まったくの、未習範囲でしたら、ゴメンナサイ。

No.4 回答者： Willyt 回答日時： 2006/08/28 20:15

Ｓ＝a(10-a) ですよね？　a,10-a は長方形の二辺です。

これの最大値は a=5 のときだということを証明すればいいわけです。これでもう全部教えてしまったに等しいかな？(^_^;)

No.5 回答者： kaduno 回答日時： 2006/08/28 20:20

皆さんの書かれている回答と殆ど同じなのですが、微積分と習っていらっしゃらないのでしたら、１辺の長さを"ｘ"として、面積を"ｙ"としてグラフを作成し、その作図？によって視覚的に理解するのが一番早いと思いますよ。

"ｘ"の範囲は０～１０で、山なりのグラフが描けると思いますので、その頂点(ｙ＝面積)での"ｘ座標"を見てください。

No.6 回答者： poohron 回答日時： 2006/08/28 20:20

すべての辺の長さを足して20センチだから、

正方形の一辺の長さは5cmです。
当然、正方形の面積は5×5＝25平方センチ。

長方形の辺の長さは、a>0とすると、
長辺は(5+a)cm、短辺は(5-a)cm。
（正方形の一辺をaセンチ長くすると、となりの一辺はaセンチ短くなる。
だって、辺の長さの合計は20cmで固定だから。）

ということは、長方形の面積は
(5+a)×(5-a)平方センチ。
これを計算すると、(25-a^2)平方センチ。
a>0ですから、もちろん(a^2)>0。

つまり、長方形の面積は25平方センチ（正方形の面積)よりも必ず小さくなるのです。

No.7 回答者： NIWAKA_0 回答日時： 2006/08/28 20:26

こちらに。

参考URL：http://okwave.jp/kotaeru.php3?q=2333326

No.8 回答者： geyan 回答日時： 2006/08/28 20:50

みなさんいろいろと回答されているので、まったく別な観点から回答してみます。

１cm角のタイルがあるとします。
このタイルを25個使って正方形になるように敷き詰めたものが
１辺５cmの正方形です。
ここで、辺の長さに関係しているタイルの数を数えると16個で、
関係していないタイルの数は９個です。

今度は、縦が４cm、横が６cmの長方形となるようにタイルを敷き詰めます。
先程と同じように、タイルの数を数えます。
すると、辺の長さに関係しているタイルの数はやはり16個、
しかし、関係していないタイルの数は８個となっています。

同じようにやっていくと、辺の長さに関係しないタイルの数が減り、
縦１cm×横９cmの長方形では、全てのタイルが辺の長さに関係し、
関係していないタイルはありません。

つまり、辺の長さに関係していないタイルの数によって面積の大きさが変わっているわけです。

この説明はどうでしたか。

No.9 回答者： mangou-kutta 回答日時： 2006/08/28 21:17

＞計算すれば正方形だとはわかる

ということですので、イメージでつかみたいという意味だと理解して、

20センチのひも（針金でも良い）で四角形をつくってできるだけ大きい面積をつくると考えればよいでしよう。
たて1センチ、横9センチなら面積はあまり大きくない。
「できるだけ中央によっていた方が効率が良い」ということで正方形になります。

形にこだわらなければ、一番中央に近い形で「円」が一番大きな面積になります。

No.10 回答者： nekochari 回答日時： 2006/08/29 02:54

計算すれば分かるということですので、気分的というか感覚的な問題ですね。

　極端な例を考えてみましょう。
　縦が０センチ、横が１０センチ。長方形にはなっていませんが、ちょっと大目にみてもらいましょう。これはもちろん、面積０というのは計算するまでもありませんね。
　少し縦を増やしてみます。縦が１センチ、横が９センチ。面積は９平方センチになりました。
　もう少し縦を増やしてみます。縦が２センチ、横が８センチ。面積は１６平方センチになりました。
　縦が増えて長方形が「ふくらんでいく」と面積が増えていきますね。
　さて、ここで、どんどんそれを進めていった最後を考えてみます。
　縦が１０センチ、横が０センチ。今度は長方形が縦棒になってしまいました。面積０。
　その少し手前は、縦が９センチ、横が１センチ、面積は９平方センチ。

　縦０から始めて縦１０まで行くと、面積は始め０から始まってどんどん大きくなるけれども、最後はまた０になるから、何処かで面積が小さくなり始める。では、どこが最大でしょうか？
　丁度両極端の真ん中の時、つまり縦＝横の時、というのが直感できませんでしょうか？？
　直感が正しいかどうかは、計算で確かめる、ということになりますけれど、既に確かめられてますので、これでOKですね。