長方体を投げた時の確立

コインを投げて裏が出るか表が出るかは１／２の確立ですよね
さいころの場合はそれぞれの面に対して１／６です。
では、長方体の３辺の長さが１ｃｍ、２ｃｍ、３ｃｍの時、各面の出る確立は
それぞれどれぐらいになるのでしょうか…

また、例えばこれを変数にして、
「ＡｃｍＢｃｍＣｃｍの長方体でＡとＢからなる面の出る確立はＸabだ」と言うような公式というのはあるのでしょうか？

No.1 回答者： toka 回答日時： 2002/03/28 15:47

（物理を全然知らない人間の暇つぶしですので、そこの所ご了解を）

　よくわかんないけど、各面の面積に比例するっぽいなあ。。。
　だとしたら、例題では(1×2)cm、(1×3)cm、(2×3)cmが各２面づつなんで、2:3:6=18%:27%:55%かな？
※同面積の２面を区分したい時は、それぞれ２で割ってね。

No.2 回答者： motsuan 回答日時： 2002/03/28 19:57

物理では確率は系のエネルギーEに対して（適当な係数β＞０)に対して

exp[-βE]
に比例します。サイコロがおかれた状態では
重心の位置（高さ）にエネルギーが比例すると考えられるので
ａ×ｂ×ｃ
のサイコロだと
辺ａが縦、辺ｂが縦、辺ｃが縦、のときのそれぞれの確率の比は
exp[-β(mg)ａ/2]:exp[-β(mg)ｂ/2]:exp[-β(mg)ｃ/2]．
ここで、mはサイコロの重さ、gは重力加速度です。
このとき、総和は１だから
Ａ＝exp[-β(mg)ａ/2]＋exp[-β(mg)ｂ/2]＋exp[-β(mg)ｃ/2]
で規格化してやります。
とここまでです。
適当な係数で割って対数をとった比がａ：ｂ：ｃにはなるかもしれません。
（熱力学的な確率？？）

もうひとつの観点としては、
サイコロをぐるぐる均等に回したとき
（周りやすさはこれまたエネルギーによるので
　慣性モーメントの軸によって違うでしょう。
　すごい長い棒を転がしたときに
　完全に球対称に回転を与えることが難しいような気がします。
　したがってこれは仮定です。）
重心からおろした垂線と面の交差の割合
（重心から見込んだ底面の立体角）
比例しそうな気がします。
計算しようと思ったのですができませんでした。
（静力学的な確率？？）

ほかにもあると思うのですが、実験してみたくなってきました。

No.3 回答者： guiter 回答日時： 2002/03/29 21:56

昔にも同じような質問がありました。

http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=150715
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=153311
このときも少し考えてみたのですが、
結局考えがまとまらず回答もせずにいましたが…

＞motsuan さん
exp[-βE] は、やはり熱力学的だと思います。
導く際にスターリングの公式などを使っていますから、
気体の分子数Ｎが大きい場合などになりますね。

motsuan さんの回答の２番目のモデルにある
立体角のほうに似たようなことを私も考えていました。

ただ、この問題はどこまで妥協するかが難しいですね。
例えば、1*1*10 のような比率の直方体の場合、
この直方体が地面で１回も弾まないという条件を課した場合に比べて
弾んでもＯＫという一般の場合の方が、
直方体が立つ確率が下がりそうな気がします。

最も簡単に、
(1)まず、一般に頂点の１つが地面に触れる。(ここで頂点は再び地面から離れない)
(2)次に、その頂点につながる３辺のうち重心に寄った辺が地面に触れる。
　（ここでも、１度地面に触れた辺は再び離れない）
(3)最後に、その辺を含む２つの面のうち重心の方の面に倒れ、２度と弾まない。
くらいに弾まないという条件なら、立体角に比例しそうです。
まだ、確かな根拠があるわけではないです。

No.4 ベストアンサー 回答者： motsuan 回答日時： 2002/03/30 18:51

みなさん、guiterさん、こんにちは。

一個目の熱力学的確率について私も気になっていました。
卵みたいなものを考えればすぐわかるように、
確率は重心の高さできまりません。
すなわち、ある面からほかの面に移るためのエネルギー
（励起エネルギー）がとっても小さいときは
この見積もりは簡単に破綻します（安定な方がでやすい）。
したがって、倒れやすい棒や弾みやすい面の上では
明に間違った値を与えるのではないでしょうか（安定な方がでやすいはずです）？

どんどん数学からはなれていきますが
βは「温度」の逆数で、普通、「室温」ではサイコロの面が勝手に転がるようなことがないので
サイコロに対しては十分低温であると考えられます。
サイコロを振るという行為はたぶん、系に「ランダムなエネルギー」を加えることに他ならないので
「温度」が十分上がった状態に系をたたき上げていることになると思います。
問題はここからエネルギーを放出して、「室温」にもどる過程でどのような行程を通るかで、
私の答えは急冷（クエンチ）した場合に相当するのではないかと思われます。
一方、ゆっくり冷やす（最後まで細かい励起エネルギーが残る、アニールの）場合は
卵の例のように、エネルギーが安定な面が圧倒的に有利でしょう。
（外系にエネルギーがゆっくりとしか逃げていかない）。

たとえば、
反発係数の低い板の上では外系にエネルギーが急速に逃げていくので
多分熱力学的確率に漸近していくのではないかと思います。
いえ、たぶん、最後の最後でカタっと止まるときの最後の「カタっ」が
既に十分高いエネルギーだと考えられるので
熱力学的確率の名残ぐらいしかみれないかもしれません
あとは「guiterさんのぴたっと止まるテーブルの議論」ですよね。
（つまり、辺の長さにほとんど差がなくて、
　あまり弾まない場合は熱力学的確率に漸近していくのではないかと思います。
　βは本当の温度ではなく、サイコロのまわし方とか、サイコロやサイコロを転がす板の材質の関数です。）
一方、よく弾む板の上でサイコロを転がすと
おそらくエネルギーが安定な面が圧倒的に有利でしょう。
（たぶん、静力学的な条件が成り立つ場合でも
「カタっ」が新たな方向（頂点から面に倒れて、辺を支えに再び立ち上がった場合など）への運動を生み出して、
その方向であればさらにエネルギーの低い状態に移れるのであれば
そっちに、こけてしまうでしょう。）
なんか、化学反応論の計算のようなポテンシャルの谷と経路の問題のような気がしてきましたが、
それって、ほとんどサイコロ振るのと同じですよね。やっぱり、実験してみないと。

ともかくそうすると、静力学的な式とは違う答えになるので
その間がめでたく結ばれると（ほとんど立方体の極限近傍でという意味です。）
多分、数学的にも不思議な関係式がでてくるような気がするのですが？
（多分、確率過程／化学反応論の計算のようなもので結ばれるので、結局、
　熱力学と動力学と静力学が結ばれるような？？？）

教えてgoo!ですら３回も登場している問題であれば、
世の中にもうやりましたという結果があってもいいような。。。

No.5 回答者： stomachman 回答日時： 2002/04/02 03:46

まるきり回答になってませんが。

せめて２次元空間で長方形のサイコロを放り投げたらどうなるか、数値実験してみようと思い立ったのですが、考え始めてみるといやこれ凄く難しいです。サイコロと床の材料学的性質をきちんと決めないとまるで計算にならないんですよ。ましてサイコロの角が微妙に丸みを帯びていたりしようものならどうにも手が出ません。
立方体などの正多面体のサイコロの場合、対称性のおかげで、こういう細々した条件の違いが一切無関係になってしまう。それこそがサイコロの本質なんだなと、改めて認識した次第です。

なお、「バター付きパンをテーブルから落としたときに、バターの面が下になってカーペットを汚すことが多いような気がする」という仮説を検証するために、実際にバター付きパンを使った実験が行われたのは、確かMITにおいてだったように思います。（そして結果はYESだったと記憶しています。）単純に見えることでも、理論だけでは決着せず、実験してみないと何とも言えないことって多いようです。

No.6 回答者： nozomi500 回答日時： 2002/04/05 09:34

まえの「同じ質問」に口出ししたものです。

見たら、まだ締め切りされていないな・・。
厳密には、コインも「厚み」があるので、縁で立つ確率、というのが存在します。

２次元空間で長方形サイコロ、も考えたのですが、「はねかえり」があると、ものすごいらしいです。
私は単純に「外接円」の中心角の比、で考えたのですが・・。（これは、いっさい弾力のないテーブルに、サイコロを瞬間空間移動させた場合には成り立つかな）

バターつきパン、って、バターの面のほうが空気抵抗が少ないんでしょうかねえ・・。