SPAのこのQuestionについて

Question

雑誌SPAのこのQuestionの答がどうも納得できません。

SPA 3/6号 p40の投資適正＆心理テスト Q13
「あるタレントに隠し子が２人いることが発覚！
１人は女の子。もう１人は男女どちらの確立か？」
A.男　
B.女　
C.確立は半々

答えはもちろん「C」と思いきや、なんと「A」だというのです。
その理由は「すでに２人いる子供の男女の組み合わせ」は１.女・女　２.女・男　３.男・女　４.男・男
となりすでに１人は女なので可能性があるのは
１.女・女　２.女・男　３.男・女　の組み合わせになる。つまりもう１人が男である確立が３分の２だから、正解はA。
ということなのです。

これ、どう考えてもおかしくないですか？
何がどうあっても男女の確立は半分ではないでしょうか？

最後にこうありました。
「Cを選んだ人は“思い込みの危険”を自覚しましょう」（林氏）
林氏、納得できません。

puni2 · Accepted Answer

>　最後にひとつ。この問題はこう言い換えられます。
>「 コインを２枚投げました。片方を見てみたら、表でした。
>さて、もう片方が表である確率は？ 」
>　これに１/３と答えるのが、いかにナンセンスかは容易に
>ご理解いただけますよね。１/２ しかありえないのですから。

言い換えというには不正確ではないでしょうか。
どこが違うかというと「片方を見てみたら」という部分です。
上記のコインの例は，私がNo.10で「先ほどの設定を次のように変えると，確率は2分の1になります。」として書いた例に相当します。
この例については，はっきり「2分の1」と私も書きました。

元の問題の趣旨の沿った言い換えは，たとえばこういうものです。

「Aさんが目隠しをして，コインを2枚投げました。
その結果を見たBさんに，『表の図柄（たとえば10円玉なら平等院鳳凰堂の絵）が見えますか』と尋ねたら，『はい，見えます』という返事でした。
今この時点で，Aさんは目隠しを取らずに，2枚の出方が『表と裏』か『2枚とも表』であるか賭けようとしています。
どちらにかけるのが有利でしょうか」

どこが先ほどの例と違っているか，よく考えてください。

>というか、「確率は2分の1になります」と何度も書い
>ているのはご自分のほうなのにねえ。妙な話です。

残念ながら，私の書いた文章をちゃんと読んでいただけていないようです。
「元の問題では3分の2だが，この設定をこう変えると2分の1になる」という話をしているのです。勝手に省略しないでください。

まあ確かに，最初に「なぜ2分の1という解釈が出てくるのか」という説明の方を書いてしまったので，分かりにくくなってしまったことは認めます。
しかし，全体の趣旨をよく読んでいただければ，「そのような解釈は，もともとの雑誌にあったクイズの出題の意図とは違う」ということを言おうとしているのがお分かりいただけないでしょうか。少なくとも質問者さんにはおわかりいただけたようですが。

>いやはや、ただの一度も「 なぜ ２/３ になるのか 」という理由を
説明できていない人に、

説明したつもりでしたが，もっと丁寧に「３」とか「２」といった数字がダイレクトに出てこないと，説明が通じないようですね。
説明の文章に沿って考えてもらえばおのずと明らかかと思って省いてしまったのがまずかったのかも知れません。
それじゃ，3とか2があらわに出てくる形で書きましょうか。

一つは，No.9の末尾で「分母が違ってきます。」と書いたその先の部分です。次のように補いましょう。

「2分の1になる」という考え方をする人は，b-1やc-2を除外しているので，分母はb-2, c-1, d-1, d-2の4通りで，分子がd-1, d-2の2通りだから2分の1と考えるのであろう。
しかし，雑誌の出題者の意図は，b-1やc-2も除外されないので，分母にその2つが加わって，分母＝6通り，分子＝2通り。つまり，2人とも女子である確率は2/6＝1/3であり，男女ペアである確率は余事象の2/3である。

もう一つは，No.10のまんなか辺です。

>このうち，返事があるのは，b, c, dの3000人。
>そのうち，姉妹なのはdの1000人。
>男女なのはb,cの2000人。
>という単純な話なのですが…

これを読んだら，姉妹は1000/3000（＝1/3），男女は2000/3000（＝2/3）という計算式になるのはごく自然だと思うのですが，いったいどこから1/2だという解釈になるのか理解できません。

ところで，念のため確認しておきたいのですが，

【2人きょうだいがいるとき，上の子の性別と下の子の性別は独立である】

という命題は真だとお考えでしょうか。
（人口統計上は多少のズレはあるかもしれません，とりあえず問題を解く上で，これを真だと仮定して解くかどうか，ということです）
私は真だと仮定して解いています。というか，そうでないと解けません。

No.12：
>組み合わせは３通り存在しています。組み合わせでは
>順番を考慮しないので、兄や妹といった長幼の順は無視されます。

>男同士
>異性同士
>女同士

なるほど，問題はここですね。
確かに3通りです。しかし，その3通りが全て「同様に確からしい」かどうかを吟味しなくてはなりません。
もし，場合の数だけで確率が論じられるのであれば，「この宝くじが1等に当たる確率は，当たるか当たらないかの2通りの内の1通りが起こるのだから，2分の1」なんてことになってしまいます。
だからこそ，正確な確率表現だけでなく，わざわざ「人数」を用いた説明を試みたのです。
（つまり，この3通りの隠し子を持つ親タレントは，ほぼ同じ人数いるだろうか，ということです。人数で考えれば，事象がn通りあるからといって平等にn分の1ずつの人数に分かれるとは限らない，ということがイメージしやすいかなと思ったのですが…）

さきほどの【　】内の命題を真だと仮定すると，この3つの事象の確率はそれぞれ，1:2:1の比率になります。1:1:1ではありません。

>このどちらで考えても、片方が女だとわかっているときの残り一人の
>性別は男女５０％ずつです。順列の場合は下４つから２つ、組み合わせ
>の場合は下２つから１つを選び出すことになるからです。

この議論は，「男同士」「異性同士」「女同士」の3通りがいずれも「同等に確からしい（1:1:1の割合で起こる）」場合にのみ成り立ちます。


ちなみに，同じロジックの問題や解説が載っているページを見つけました。ご参考までに。
「確率のパラドックス」（日経サイエンス2005年12月号）
http://www.nikkei-bookdirect.com/science/page/magazine/puzzle/puzzle0512/question.html
問4が男女の問題です。
ただ，解説にあるように，この問題4では「外で遊んでいる」という場面設定にしたために，出題者の意図と違った意味になってしまい，1/2になっています。
もともとは，解説欄に「私の意図」として書いてあるように「２人の子供のうち少なくとも１人が女の子だとわかったとき，もう１人も女の子である確率はいくらか」ということが聞きたかったようで，それならば答えは1/3になります。
（なお，解説の中にある，たとえば「女１男２女１」というのは，「2人の子どもは姉と弟であって，そのうち姉の方が外に出ていた」という風に読みます）

「1人が外に出ているところを見る」というのは，先ほどのNo.10で書いた，「子どもを1人だけスタジオに入れてから，もう1人を当てさせる」という場合に相当しますので，確率は1/2になります。

もう一つ。
「確率過程論」（法政大学工学部で西岡國雄氏が行った集中講義のテキスト）
c-faculty.chuo-u.ac.jp/~nishioka/resume1.pdf
直接PDFファイルにリンクしていますのでご注意下さい。
いきなり確率測度論のことが書いてありますが，とりあえず気にしないで，問題3.1だけ見てください。（答えは2/3になっていますね）

問題3.1. “ 王に姉妹はいるか? ”
先王には子供が二人おり, その内の一人が新たに王として即位した. 新王に姉妹がいる確率を求めよ. ただし, 男女の比率は1 : 1 とする.

puni2 · Answer

#16さんの例がわかりやすいので，拝借します。

こんな場面を考えましょう。
コインを2枚投げて，結果を見て助手がヒントを出します。
そのヒントを聞いて，目隠しをしている人が，表の出た枚数を当てよう，というゲーム（ギャンブル）です。

１．助手が「表のコインがあります」というヒントを言ったとき。
表が1枚である確率が2/3，表が2枚である確率が1/3です。

２．助手が「コインAは表です」というヒントを言ったとき。
表が1枚（Aだけ）である確率も，表が2枚である確率も，1/2ずつです。

これは合っていますよね？
その上で，私は，もともとの雑誌に載っていた問題は１のケースに相当すると考えました。

#14へのお礼欄：
>このタレントが「そのうち１人をここに連れてきました。はい、見ての通りの女の子です！」とやったらもう１人の男女の確率は５０％です。
>でもそうではないんですね（例が思い浮かびませんが・・）

こんな例はどうでしょうか。
タレント「いま，2人ともこの扉の向こうで待機しています」
司会「では，ちょっと様子を見てきましょう。」
スタジオの出席者「女の子はいましたか？」
司会「いました。それでは2人は男女か，それとも2人とも女の子か，さあ書いてください」
こういうヒントの出し方をすると，男女の確率が2/3，2人とも女の子である確率は1/3になります。

ヒントとしてはどっちも同じじゃないか，と思われる方のために。
1人連れてきて「見ての通り女の子」というヒントを与えたとき，もう一人に関する情報は全くの白紙です。
しかし，「女の子がいる」というヒントは，両方の子を見ないと得られない情報です。

>私とpuni2 さんの違いを、簡単にご説明しますね。
>私 ： 片方が女の子の場合、もう片方も女の子である確率は １/２
>puni2 さん ： 片方が女の子の場合、姉妹である確率は １/３

>puni2 さんは何らかの勘違いにより、命題をすり替えています。

簡単なのはいいですが，簡単にしすぎて私の述べてきたことと趣旨が違っています。そういうまとめかたこそ，すり替えではないでしょうか。
私が今までの回答で述べているのは，次の通りです。

(1) 「２人の子供のうち少なくとも１人が女の子だとわかったとき，もう１人も女の子である確率」は1/3である。（回答#14の終わりの方）
(2) 「２人の子供のうち特定の１人の性別を調べたら女の子だとわかったとき，もう１人も女の子である確率」は1/2である。（回答#10の「先ほどの設定を次のように変えると～」以降）

このように両者を区別しているのに，「片方が女の子の場合」などという曖昧な表現で一緒くたにしてしまうのはどうかと思います。
また，子どもは2人と決まっている以上，「もう片方も女の子」と「（2人は）姉妹」は同値です。

>数学カテゴリーでも質問を投稿しました。

では，そちらに移りましょうか。

toorisugari · Answer

コインで考えてみます。

コインを２枚投げたときの組み合わせは、
（表、表）・・・１／４
（表、裏）・・・１／２
（裏、裏）・・・１／４

内約：（コインＡ、コインＢ）
(a)（Ａ表、Ｂ表）・・・１／４
(b)（Ａ表、Ｂ裏）・・・１／４
(c)（Ａ裏、Ｂ表）・・・１／４
(d)（Ａ裏、Ｂ裏）・・・１／４

（１）「Ａが表である」
上の４パターンのうち、(c)(d)を抜いた２つのパターンがあり、それぞれでる確率は同じなので
(a)（Ａ表、Ｂ表）・・・１／２
(b)（Ａ表、Ｂ裏）・・・１／２

残りの一枚が表か裏かは、(a)の時は表で、(b)の時は裏ですから、
表・・・１／２
裏・・・１／２

（２）「（最低でも）１枚は表である」
上の４パターンのうち、(d)を抜いた３つのパターンがあり、それぞれでる確率は同じなので
(a)（Ａ表、Ｂ表）・・・１／３
(b)（Ａ表、Ｂ裏）・・・１／３
(c)（Ａ裏、Ｂ表）・・・１／３

で、残りの一枚が表か裏かは、(a)の時は表で、(b)(c)の時は裏ですから、
表・・・１／３
裏・・・２／３

ってことです。
直感的には「えっ」ってな感じですけど数学ではたまにありますね（直感的には変な解答が）。


このコインの表裏を男女に置き換えばいいだけと思いますが、姉妹など順番の意味が含まれる単語を使うと分かりにくくなるようですね。

>　つまり、「 男・男 」を除いた場合、以下のような４つの順列が存在します。
ここの表記が「第一子・第二子」ということなら

>姉・弟 （ すなわち 女・男 ）
>兄・妹 （ すなわち 男・女 ）
>姉・妹 （ すなわち 女・女 ）
>妹・姉 （ すなわち 女・女 ）
４つめの「第一子（妹）・第二子（姉）」はないですよね。

それとも表記の順番に第一子・第二子の意味はなく、それは兄・姉・弟・妹で表しているってことなら
弟・姉 （ すなわち 男・女 ）
妹・兄 （ すなわち 女・男 ）

の２パターンが抜けています。

nidonen · Answer

私とpuni2 さんの違いを、簡単にご説明しますね。

私 ： 片方が女の子の場合、もう片方も女の子である確率は １/２

puni2 さん ： 片方が女の子の場合、姉妹である確率は １/３

　これは数学的に両方とも正しいです。ただ、私は smith84 さんが
最初に提示された命題に対して答えているのに対し、puni2 さんは
何らかの勘違いにより、命題をすり替えています。

　＃１０のなかで、puni2 さん自身が「 そのうち，姉妹なのはdの
1000人 」とはっきり書いています。これぞ、「 もう片方も女の子
である確率 」ではなく、「 ２人が姉妹である確率 」を求めている
わかりやすい根拠です。

　puni2 さんが＃１０で紹介してくださった「 隠し子がスタジオに
登場！」に従えば、当初の命題を満足させるためには、隠し子に
対してこのように質問しなければなりません。
「 あなたが女の子で、もう片方も女の子だったら、返事をして
ください 」

　この場合、姉妹はふたりとも返事をしますよね？　そして
異性の組み合わせからは返事がありません。すなわち女の子が
４人いて、２人が返事するわけです。これが１/２を示しています。

　ここまでの説明と同様に、日経サイエンスのページで説明され
ているのも「 ２枚とも表である確率 」でしかありません。

　なぜなら「 残りの１枚も表である確率 」を聞いているのだから、
両方とも表の場合には「 残りの１枚って、どっちのこと？ 」という
疑問が発生するからです。これも puni2 さんと同様に、「 ２枚とも
表である確率は１/３ 」ということと「 残りの１枚が表になるのは
１/２ 」ということを明らかに混同しています。

metalrider · Answer

＞「上か下かは言えないけどどちらか一方は女だよ！もう１人はご想像におまかせします」というわけですね。

じゃあこう考えてみてはどうでしょう？
もう一人がその女の子とどういう関係になるか予想してみる。
1.「兄」
2.「弟」
3.「姉」
4.「妹」
－の4通りで確率的にはどれも等しく25%（= 1/4）　…になるはずですよね？
上記では男：女＝1：1　で半々になると思うのですが…？

nidonen · Answer

たびたびのお付き合い、感謝いたします。

> 「姉・妹」と「妹・姉」は一緒ですよね？

　そこが違うんです。その２つを一緒と考えるのであれば、
「 姉・弟 」と「 兄・妹 」も、一緒だと考えなければなりません。
この２つは単に並び順の違いに過ぎないからです。

　私も改めて考えたのですが、順列は正確には６通り存在しています。
ここで重要なのは、女の子だとわかっている一人が、姉なのか妹なのか
まではわかっていないということに、着目しなければならない点です。

兄・弟
弟・兄
兄・妹
姉・弟
姉・妹
妹・姉

　そして、組み合わせは３通り存在しています。組み合わせでは
順番を考慮しないので、兄や妹といった長幼の順は無視されます。

男同士
異性同士
女同士

　このどちらで考えても、片方が女だとわかっているときの残り一人の
性別は男女５０％ずつです。順列の場合は下４つから２つ、組み合わせ
の場合は下２つから１つを選び出すことになるからです。

> これだけ頑固に思いこんでしまっている人の誤解を解くには，相当うまい説明が必要かと思いますが

　いやはや、ただの一度も「 なぜ ２/３ になるのか 」という理由を
説明できていない人に、頑固呼ばわりされるとは驚きました（苦笑）。
もちろん、数学的には ２/３ はありえないので、説明することができ
ないわけですが。というか、「確率は2分の1になります」と何度も書い
ているのはご自分のほうなのにねえ。妙な話です。

> 数学のカテゴリーで形を変えて質問しようと思います。

　正直なところ、ぜひそうしていただきたいです。数学の専門家なら、
私の稚拙な説明を、もっと明快な手法（ もしかしたら数式とか出てきて
大変なことになるかもしれませんが 笑 ）で解説してくれると思います。
そのときは、私も数学カテゴリーにお邪魔させてもらいます！

　最後にひとつ。この問題はこう言い換えられます。
「 コインを２枚投げました。片方を見てみたら、表でした。
さて、もう片方が表である確率は？ 」
　これに１/３と答えるのが、いかにナンセンスかは容易に
ご理解いただけますよね。１/２ しかありえないのですから。

puni2 · Answer

>「上か下かは言えないけどどちらか一方は女だよ！もう１人はご想像におまかせします」というわけですね。

そうそう，そういうことです！
ただ，そこまできちんと書いてしまうと，「少なくとも一方」ということに気づいてしまうので，そこをうまくぼかして「１人は女の子」という表現にした点がミソかなと思います。

>（中略）という考え方、正しいのでしょうか？

はい，それでいいと思います。

puni2 · Answer

>ただし今までの回答者さんに反論する方法がわかりません。

正面から反論するのはかえって難しそうな気がしますので，あえて既出の回答の添削はせず，私なりの説明を試みています。

そしたら，少し場面設定を変えましょうか。

2人の隠し子を持つ多数のタレントが，子連れでテレビ局のスタジオに現れた。
まず全員控え室で待機してもらい，次に1人ずつ，タレント本人だけがスタジオに入る。
司会者が，カーテンの向こうに向かって，「○○さんのお子さん，女の子がいたら必ず返事をしてください」という。
返事を聞いて，スタジオの出席者が，もう1人は男か女か，手元のパネルに書いて当てる。
書き終わったところで，2人の子がスタジオに入ってくる。
当たりはずれが出たら，親子で退場し，次のタレントが入る。
これを多数回繰り返す。

いま，返事があったとき，もう1人も女の子である確率はいくらか。
（ただし，2人とも女子の場合は，1人だけが返事をするように予め決められているものとする）

先ほどと同様に分けてみると，以下のそれぞれはいずれも確率が4分の1と言っていいでしょう。
a. 兄弟
b. 兄妹
c. 姉弟
d. 姉妹
それぞれが1000人ずつ。
このうち，返事があるのは，b, c, dの3000人。
そのうち，姉妹なのはdの1000人。
男女なのはb,cの2000人。

という単純な話なのですが…

なお，先ほどの設定を次のように変えると，確率は2分の1になります。

「タレントは，子どものうちの1人を連れて入ってくる。
その時点で，スタジオの出席者がもう1人の性別を当てる。
書いたところで，もう1人が入場。」

>このカテゴリーで結論が出ないようなら数学のカテゴリーで形を変えて質問しようと思います。

そのほうが，もっと上手な説明が得られるかも知れませんね。
私もちょっと限界です。
特に，全く白紙の人ならともかく，これだけ頑固に思いこんでしまっている人の誤解を解くには，相当うまい説明が必要かと思いますが，今は残念ながらこういう素朴な説明しか思いつきません。

>論理が一貫していないことに気づいてください。
>これだけ説明してもご理解いただけないのは、本当に悲しいです。

悲しむ前に，「“思い込みの危険”を自覚しましょう」。

puni2 · Answer

続けます。
仮に，母集団（2人の隠し子を持つタレント）が4000人いたとします。
（冷静に考えると，すごい設定ですよね）

a. 兄弟
b. 兄妹
c. 姉弟
d. 姉妹

以上の4パターンは，いずれも同じ確率で生起すると考えられますので，1000人いることになります。
（もちろん実際には誤差がありますので，人数ではなく，「確率は4分の1ずつ」と言わなければなりませんが，イメージをつかむための便宜的な表記と思ってください）

さて，ここから先が問題です。
さきほど，「2人の隠し子のうち1人の性別を答えたとしましょう」という設定にしましたが，実はこの言い方ですと，その雑誌の設定と微妙に違ってくるのです。
（これまでの回答が，2分の1に固執しているのは，そのへんの解釈に原因があるように思われます）

「1人の性別」を答える場合，上の子について答えるか，下の子について答えるか，これをタレント各自の自由に設定する（つまり確率は2分の1ずつだとする）と，問題の答えも2分の1になってしまいます。

少し詳しく見てみましょう。

a-1. 2人は兄弟であって，そのうちの兄のほうを想定して「1人は男の子です」と答える人が500人。（正確には「確率が8分の1」）
a-2. 2人は兄弟であって，そのうちの弟のほうを想定して「1人は男の子です」と答える人が500人。
b-1. 2人は兄妹であって，そのうちの兄のほうを想定して「1人は男の子です」と答える人が500人。
b-2. 2人は兄妹であって，そのうちの妹のほうを想定して「1人は女の子です」と答える人が500人。
c-1. 2人は姉弟であって，そのうちの姉のほうを想定して「1人は女の子です」と答える人が500人。
c-2. 2人は姉弟であって，そのうちの弟のほうを想定して「1人は男の子です」と答える人が500人。
d-1. 2人は姉妹であって，そのうちの姉のほうを想定して「1人は女の子です」と答える人が500人。
d-2. 2人は姉妹であって，そのうちの妹のほうを想定して「1人は女の子です」と答える人が500人。

以上より，この記者会見の席で「1人は女の子」と発言するタレントさんは，
b-2, c-1, d-1, d-2の2000人。
そのうち，もう1人も女の子であるのはd-1, d-2の1000人。
だから，2分の1。
となってしまいます。

問題は，「１人は女の子。」という簡単な書き方に秘められた意味だと思います。
これは，タレントが上の子を想定するか下の子を想定するかとは関係なく，事実として「1人は女の子である」，もっと正確に言うと「少なくとも1人は女の子」と解釈すべきものでしょう。

あるいは，こうも言えるかも知れません。
とにかく女の子が1人（2人でも可）いるばあいは，それを隠すことはしない。

この場合，分母が違ってきます。
つまり，上述のb-1やc-2で本人は「1人は男の子」と答えていますが，彼（彼女）がどう答えようが，そのタレントに「1人の女の子の隠し子が存在し，もう1人の性別は（この時点ではこちらには）わからない」という事実があるのです。

これが「上の子は女です。下の子は？」という問いかけなら，たしかに確率は2分の1ですが。

puni2 · Answer

質問者さんはすでに3分の2で納得されたようですが，回答者さんが総スカンの様相を呈してきましたので，私からも「なぜ3分の2なのか」という説明をしてみたいと思います。

まず，この試行における確率の意味をきちんと押さえておきましょう。
といっても，「あるタレント」は1人しかありませんので，実際には試行もなにもあったものではありません。
そこで，仮に，「隠し子が2人いるタレント」が何千，何万人といたとしましょう。
そして，その何万人が次から次へと記者会見を開いて，それぞれが，2人の隠し子のうち1人の性別を答えたとしましょう。

「1人は女の子です」と答えた人のうち，「もう1人は男の子」という人と，「もう1人も女の子」という人と，どちらが多いか。
という問題ですね。

SPAのこのQuestionについて

> 最後にひとつ。

この回答への補足

#16さんの例がわかりやすいので，拝借します。

コインで考えてみます。

私とpuni2 さんの違いを、簡単にご説明しますね。

＞「上か下かは言えないけどどちらか一方は女だよ！もう１人はご想像におまかせします」というわけですね。

たびたびのお付き合い、感謝いたします。

この回答への補足

>「上か下かは言えないけどどちらか一方は女だよ！もう１人はご想像におまかせします」というわけですね。

>ただし今までの回答者さんに反論する方法がわかりません。

続けます。

質問者さんはすでに3分の2で納得されたようですが，回答者さんが総スカンの様相を呈してきましたので，私からも「なぜ3分の2なのか」という説明をしてみたいと思います。

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>　最後にひとつ。

　私とpuni2 さんの違いを、簡単にご説明しますね。

　たびたびのお付き合い、感謝いたします。