反発係数

反発係数の問題で、無限等比級数の問題でもあるのですが、　１ｍの高さからボールを自由落下させ床との衝突を繰り返す。ボールを落としてから静止するまでにどれだけの時間がかかるか？（e＝0.8　g＝9.8m/sとする）　という問題の解答の方針も式のたて方もわかりません。アドバイスお願いします。

No.3 回答者： nomercy 回答日時： 2007/05/29 00:11

横から失礼します。

>16回めの衝突で最高到達高さが1ミリを切るので、これを最後の反発として時間を考えます。

これでも良いですが、出題者の意図としては
「静止する＝無限回衝突している」
ということでしょうね。
つまりANo.1におけるtnにおいてn→∞の値を求める
ということだと思います。

No.2 回答者： m_ik_e 回答日時： 2007/05/28 23:51

＃1です

エクセルで試してみてください
A列は0,1,2,3と順番に自然数を

B列は
=0.8^(2*A1)*1000
をコピペ(単位はミリで出ます)

C列は、Aが0の行は
=SQRT(B1*2/1000/9.8)
で、次の行以下は
=C1+2*SQRT(B2*2/1000/9.8)
をコピペ(単位は秒で出ます)

以下のように出てきます。
無限ではありますが収束していく様子がとてもよく分かりますよ

01000.00 0.4518
1640.00 1.1746
2409.60 1.7528
3262.14 2.2154
4167.77 2.5855
5107.37 2.8815
668.72 3.1184
743.98 3.3079
828.15 3.4595
918.01 3.5807
1011.53 3.6777

No.1 回答者： m_ik_e 回答日時： 2007/05/28 23:36

完全に静止は計算では永遠に出来ないと思います。

目に見えない高さで跳ね続けている事になりますし。
一応考え方の方針は


反発係数と高さの関係は
e=√(h'/h)
h*e^2=h'
だから、1回反発した後の最高到達点は
h1=1*0.8＾2
2回反発した後は
h2=h1*0.8^2
　=0.8^4

n回反発したら
hn=0.8^(2*n)

16回めの衝突で最高到達高さが1ミリを切るので、これを最後の反発として時間を考えます。

最初（反発前）に地面につくまでの時間は
x=1/2*at^2
より
t0=√(2/9.8)
ですね。
次はh1の高さからの落下×２のぶん時間が進むので
t1=t0+2*√(2*h1/9.8)
t2=t0+t2+2*√(2*h2/9.8)
tn=t0+Σ[2*√(2*hn/9.8)]

先述の16回はねた場合(17回目の衝突で停止)で
約3.98秒です。

20回(21回目の衝突で停止)で
4.032452…
50回(51回目の衝突で停止)で
4.065744…
100回(101回目の衝突で停止)で
4.065785…

って感じです