No.5
- 回答日時:
x^2002 = (x^4-1)Q(x) + ax^3 + bx^2 + cx + d----(1)
(-x)^2002 = (x^4-1)Q(-x) -ax^3 + bx^2 - cx + d-より、
x^2002 = (x^4-1)Q(-x) -ax^3 + bx^2 - cx + d----(2)
(2)式について着目すると、
x^2002を(x^4-1)で割ったとき、(x^4-1)Q(-x)は割り切れ、
-ax^3 + bx^2 - cx + dは割り切れないので、
余りは、-ax^3 + bx^2 - cx + dとなって、
これはax^3 + bx^2 + cx + dと恒等的に等しいので、
ax^3 + bx^2 + cx + d = -ax^3 + bx^2 - cx + dより、
より、a = c = 0になる事が分かります。
これを(1)式に代入すれば
x^2002 = (x^4-1)Q(x) + bx^2 + d ----(3)を得ます。
x = 1 , iを代入すれば、
b + d = 1 -b + d = -1
b = 1 d = 0となるので、
余りはx^2である事がわかります。
No.4
- 回答日時:
普通は、3元、4元の連立方程式は避けますが、
此の問題に限れば、
A+B+C+D=1
ーA+B-C+D=1
B+D=1
A+C=0
ー(i)AーB+(i)C+D=-1
A=C
-B+D=-1
A=C=0、B=1、D=0
あまりは(X^2) と計算は複雑にならないようで・・・。
ーーーーーーーーー
または、
(X^2002)
=(X^2000)(X^2)
=(X^2000)(X^2)ー(X^2)+(X^2)
=(X^2)[(X^2000)ー1]+(X^2)
と変形して、[(X^2000)ー1]は[(X^4)ー1]で割り切れるので、
余りは、(X^2) とはなりますが、聊か技巧に走り過ぎて、連立を解いた方が良いかと・・・。
この回答へのお礼
お礼日時:2007/06/08 13:27
ご回答ありがとうございます。
二つめの解答は見事だと思います。
しかしそこまでこの問題に追求するぐらいなら、
連立といたほうがシンプルかも知れません。笑)
No.2
- 回答日時:
次の関係から導く方法はいかがでしょうか。
X-1=0 ⇒ X^n-1=0 (n:自然数)
ここで、x^4=X、n=500とすると、
x^2000-1=0
となるので、両辺にx^2を掛ければ、
x^2002-x^2=0
となります。
ところで、この式は、X-1=0 すなわち、x^4-1=0を前提としたときに成り立ちますので、Q(x)をxの多項式とすれば、
x^2002-x^2=(x^4-1)・Q(x)
∴x^2002=(x^4-1)・Q(x)+x^2
となる。
No.1
- 回答日時:
素直にやられた方が簡単ではないですか?
>x^2002=(x-1)(x+1)(x-i)(x+i)Q(x)+ax^3+bx^2+cx+d
>つまり±1、±iを代入して
x=1を代入→1=a+b+c+d…(1)
x=-1を代入→1=-a+b-c+d…(2)
(±i)^2002={(±i)^2}^1001=(-1)^1001=-1ですから
x=iを代入→-1=i(c-a)+d-b…(3)
x=-iを代入→-1=-i(c-a)+d-b…(4)
(1),(2),(3),(4)を解いて
a=c=d=0,b=1
x^2002=(x-1)(x+1)(x-i)(x+i)Q(x)+x^2
余りは x^2
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