A,Bは行列とする。AB=BAのときEXP(A+B)=EXP(A)*EXP(B)を証明せよ

ちなみに(1)でAB=BAのとき(AB)~m=A~m*B~mを示せという問題がありました。
たぶんこれを利用するとは思うのですが…。
誰かヨロシクお願いします！

No.1 回答者： ojisan7 回答日時： 2007/07/01 13:30

>・・・たぶんこれを利用するとは思うのですが…。

そうです。それを利用します。そして、EXP(A+B)に、行列のEXPの定義をあてはめれば、自然に導かれるはずです。

No.2 ベストアンサー 回答者： zk43 回答日時： 2007/07/01 14:41

exp(A)=E+A+A^2/2!+A^3/3!+A^4/4!+…

exp(B)=E+B+B^2/2!+B^3/3!+B^4/4!+…
であり、
exp(A)exp(B)
=E
+(A+B)
+(A^2/2!+AB+B^2/2!)
+(A^3/3!+A^2B/2!+AB^2/2!+B^3/3!)
+(A^4/4!+A^3B/3!+A^2B^2/2!2!+AB^3/3!+B^4/4!)
+…
=E
+(A+B)
+(1/2!)(A+B)^2
+(1/3!)(A+B)^3
+(1/4!)(A+B)^4
+…
=exp(A+B)

exp(A)exp(B)を展開するときに、A^mB^nでm+nが一定となるところで
まとめて、二項定理を使っています。
普通の指数関数の場合とまったく同じです。

この回答へのお礼

お礼が遅れてしまい申し訳ございません。
ありがとうございました。
本当に助かりました！

お礼日時：2007/07/09 08:44