最初からつまずいちゃいました…ご教授願います…

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No.2 回答者： afilter 回答日時： 2018/07/02 15:04

F(x)=f(x)g(x)-Kf(x)^2

を考えます。F(x)がロールの定理の前提条件を満足するように、すなわち
F(a)=F(b)　となるようにKを定めます。
f(a)g(a)-Kf(a)^2 =f(b)g(b)-Kf(b)^2 より　　
K=(f(a)g(a)-f(b)g(b))/ (f(a)^2 -f(b)^2)
となります。F(x)は微分可能（C^1-級である必要はありません）であるから、F’(c)=0　を満足するｃが(a,b)に存在します。したがって、
f(c)’g(c)+ f(c)g(c)’-2Kf(c)f(c)’=0
上式に、先に得られたKを代入して終わりです。

x exp(x)/( exp(2x)-1)= x/( exp(x)- exp(-x))であるから、x exp(x)/( exp(2x)-1)は偶関数となります。よって、片側極限 (ｘ→+0)を求めればよいことになります。
f(x)=exp(x) g(x)=x a=0 b=1　とおけば、
x exp(x)/( exp(2x)-1)=(1/2)( exp(-ｃ)+ｃexp(-ｃ))　　（0<ｃ<ｘ）
を満足するｃが存在します。ｘ→＋0　のときｃ→＋0　
exp(-c)→１ c exp(-c) →0 （c→＋0）だから
x exp(x)/( exp(2x)-1) →1/2（x→0）
となります

No.1 回答者： fef 回答日時： 2018/07/02 13:40

(1)

問題は“任意の”a, b と言っていますが，a≠b は仮定されていると考えるべきでしょうね．

まず，関数 F および定数 K を
　F(x) = f(x) g(x) - f(a) g(a) - K * (f(x)^2 - f(a)^2),
　K = (f(b) g(b) - f(a) g(a)) / (f(b)^2 - f(a)^2)
とおきます．
すると，f, g がC^1-級であるから F もC^1-級となって，
平均値の定理より
　F(b) - F(a) = F'(c) (b - a)　…(*)
　（ただし c は a < c < b または b < c < a なる定数）
という等式が成り立ちますね．
ここで，関数 F および定数 K の定義より，
　F(a) = F(b) = 0
となっていることに注意しましょう．
したがって，式(*)は
　F'(c) = 0
と書きなおせます．
いま，
　F'(x) = f'(x) g(x) + f(x) g'(x) - 2 K * f(x) f'(x)
ですから，
上の式は
　f'(c) g(c) + f(c) g'(c) - 2 K * f(c) f'(c) = 0,
すなわち
　K
　= (1/2) * (f'(c) g(c) + f(c) g'(c)) / (f(c) f'(c))
　= (1/2) * (g'(c) / f'(c) + g(c) / f(c))
ということを示していますね．
定数 K に関するこの表式を F(b) = 0 すなわち
　f(b) g(b) - f(a) g(a) - K * (f(b)^2 - f(a)^2) = 0
という等式に代入して整理すれば，
　(f(b) g(b) - f(a) g(a)) / (f(b)^2 - f(a)^2)
　= (1/2) * (g'(c) / f'(c) + g(c) / f(c))
となって，件の等式が得られます．

(2)
0 < |x| < 1 の範囲で考えます．

小問(1)の結果において
　f(x) = exp(x),　g(x) = x,　a = 0,　b = |x|
とすることで，
　exp(|x|) |x| / (exp(2 |x|) - 1)
　= (1/2) * [g'(c(x)) / f'(c(x)) + g(c(x)) / f(c(x))]
　（ただし c は x の関数で 0 < c(x) < |x|）
という等式が得られますね．
この式の右辺は簡単に極限が求まりますので，
そこから
　exp(x) x / (exp(2 x) - 1)
の右側極限と
　-exp(-x) x / (exp(-2 x) - 1)
の左側極限がわかります．
ところで，
　-exp(-x) x / (exp(-2 x) - 1)
　= -exp(x) x / (1 - exp(2 x))
　= exp(x) x / (exp(2 x) - 1)
ですから，実は
　-exp(-x) x / (exp(-2 x) - 1)
の左側極限と
　exp(x) x / (exp(2 x) - 1)
の左側極限とは同じ値です．
したがって，上の計算により
　exp(x) x / (exp(2 x) - 1)
の左側極限も右側極限も求まったことになります．
後はそれらの値を比較すればよいですね．