数I 剰余定理？因数定理？

x^n-1を(x-1)^2で割った余りを求めよ。

という問題なのですが…
そもそもn乗というのは明確な数字は分からないということですよね？？そこから(x-1)^2を使ってどのように計算していけばいいのかわかりません…＞＜
どなたか回答お願いします。

No.4 回答者： zk43 回答日時： 2007/07/20 00:00

x^n-1はxのn乗-1ですか。

等比数列の和から、
x^n-1=(x-1)(x^(n-1)+x^(n-2)+…x+1)
と書けます。
そこで、x^(n-1)+x^(n-2)+…x+1をx-1で割った商をq(x)、余りをrとします。
ここで、x-1で割っていることからrは定数です。
x^(n-1)+x^(n-2)+…x+1=(x-1)q(x)+r
においてx=1とすると、r=nを得ます。
これより、
x^n-1=(x-1){(x-1)q(x)+n}=(x-1)^2×q(x)+n(x-1)

No.3 回答者： syouji_08 回答日時： 2007/07/19 23:43

x^(n-1)を(x-1)^2で割った商Q(x) , 余りax + bとおく。

x^(n-1) = (x-1)^2 Q(x) + ax + b
x = 1を代入すると、
1 = (1-1)^2Q(1) + a + bより、
a + b = 1

両辺をxで微分すると、
nx^(n-2) = 2(x-1)Q(x) + (x-1)^2Q'(x) + a

x = 1を代入すると、
1 = 2(1-1)Q(1) + (1-1)^2Q'(1) + aより、
a = 1
b = 0
よって、余りはｘ

No.2 回答者： kts2371148 回答日時： 2007/07/19 23:41

まず、x^n-1 を x-1 で割ってみましょう。

n=2,3,4,5 について計算してみて下さい。
そうすると、x^n-1 は x-1 で割り切れて、

x^n-1 = P(x) (x-1)

となることがわかるはずです。
そして、P(x) = *** が得られます。
（*** は自分で計算してみてください。）

次に、P(x) を x-1 で割った余りを求めます。
これには剰余定理が使えます。
すると、

P(x) = Q(x) (x-1) + ???

となります。
これを x^n-1 = P(x) (x-1) に代入すると、答えがわかるはずです。

計算してみてわからなければ、またご質問下さい。

No.1 回答者： kaaaiii 回答日時： 2007/07/19 23:12

(x-1)^2 = x^2 - 2x + 1 ですよね。

で、これでx^(n-1) を割るわけですから、一番乗数が高い数(x^2)と
x^(n-1) とを合わせます。
そうすると、商はx^(n-3)になる事が分かります。
それで実際に計算してみてください。