ε－N論法を用いた証明教えてください

Question

lim(n→∞)an=αが成り立つならばlim(n→∞)√an＝√αであることをε－N論法を用いて示しなさい。
というのがどうしてもわかりません…。ε―N論法はわかるのですが・・・（問題わかりにくくてすいません）
どなたか教えてください！！

tinantum · Accepted Answer

lim(n→∞)an をε-N論法で書くと『任意のε>0に対し、ある自然数n0が存在し、n≧n0を満たす任意の自然数は |an - α|<ε　を満たす』…(1) です。これを利用して lim(n→∞)√an＝√α を示すには、やはり『任意のε>0に対し、ある自然数n0が存在し、n≧n0を満たす任意の自然数は |√an - √α|<ε　を満たす』ことを(1)の事実を使って言う必要があります。 ε-N論法はある意味、永遠に続く対話です。 εは収束の精度みたいなもので、質問者が「ε=0.1」の場合はどうだ？と聞くと「それに対してはn0(0.1)が存在して、…」という。質問者が「では、ε=0.01」ではどうだ？」と聞くと、それに対し「ある番号n0(0.01)が存在して…」、といった具合に（どんな小さな）εを与えられても、それに対応してあるn0の存在を示し、それ以上の番号では言われた精度以内に収束することを保障するのがε-N論法ですね。なので、ポイントは、任意のεを与えられたときに、それに応じて自動的に適切なn0（n0はεに依存するので、n0(ε)のように依存性を明示することもあります）を答えれるようにすることです。例えば簡単な問題では、「ε>0に大して、n0=1/εに一番近い自然数を言うとよい」とか。この問題は、(1)を満たすようなn0は既に存在しているので、これを利用します。そのために、 √an - √α = (an - α) / (√an + √α) のような変形をすることで、(1)の不等式にある(an - α)を無理矢理出したわけです。実際証明してみます。 [1] α≠0のとき、任意のε>0を固定する。… (2) すると、 |√an - √α| = |(an - α) / (√an + √α)| = |(an - α)| / |(√an + √α)| ≦|(an - α)| / √α　(∵ |(√an + √α)|= (√an + √α) ≧ √α　…(３) と変形できることに注意します。(1)は任意のεを用いてよかったので、（2）で固定したεを用いて、(1)のεとしてε √αを用いてもよいわけで、それに対しn0(ε √α)が存在して、n≧n0(ε √α)に対しては |(an - α)| < ε √α を満たすとしてよいです。よって、(3)も、このn0(ε √α)を用いると、n≧n0(ε √α)に対しては |√an - √α| ≦|(an - α)| / √α < ε となります。まとめると、始めに（どんなに小さくてもよい）任意のε>0を固定すると、（(1)を利用してつくった） n0(ε √α)が存在して、n≧n0(ε √α)に対しては |√an - √α| < ε すなわち、lim(n→∞)√an＝√αがε-N論法で証明できたことになります。 α=0のときは、練習としてもう一度挑戦してみてください。

koko_u_ · Answer

>あとα＝０の場合どうすればいいのかも…
この場合は超カンタンなので、ウォーミングアップとしてどうぞ。

tinantum · Answer

余計なお世話かもしれませんが、
ε-N論法の仕組みをわかっていても、ここの問題での使い方がわかるわけではないので、ご安心を。
問題を多く解くとだんだんと使い方の傾向が見えてきます。

Tacosan · Answer

基本戦略は √an - √α = (an - α) / (√an + √α) と有理化すること. ただし, α = 0 のときはこの戦略が使えないので別途考える.

koko_u_ · Answer

>ε―N論法はわかるのですが・・・
それはワカットランということだよ。

ε－N論法を用いた証明教えてください

lim(n→∞)an

>あとα＝０の場合どうすればいいのかも…

余計なお世話かもしれませんが、

基本戦略は √an - √α = (an - α) / (√an + √α) と有理化すること. ただし, α = 0 のときはこ

>ε―N論法はわかるのですが・・・

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