標準正規分布表における確率密度関数値

　ある資格試験問題に、次のような表がありました。

確率変数　　 分布関数値　　　 確率密度関数値
　0.00　　　　 0.5000　　　　　　 0.3938
　0.50　　　　 0.6915　　　　　　 0.3521
　1.00　　　　 0.8413　　　　　　 0.2420
　1.50　　　　 0.9332　　　　　　 0.1296
　2.00　　　　 0.9773　　　　　　 0.0540
　2.50　　　　　 0.9938　　　　　　 0.0175
　3.00　　　　　 0.9987　　　　　　 0.0044
　3.50　　　　　 0.9998　　　　　　 0.0009

分布関数値のほうはよくわかります。（皆さんもおなじみの数値です。)これを使えば、たとえば、P(－2.00≦Z≦2.00）＝0.9546　・・・・・1－（1－0.9773)×2＝0.9546　です。

ところが、この表に出てくる確率密度関数値は、何に使えるのか、見当がつきません。一体この確率密度関数値とは何者ですか?さらに、確率密度関数値としてこの表に並んでいる数値は一体何の意味があるのですか?どうぞよきアドバイスをよろしくお願いいたします。

No.1 回答者： info22 回答日時： 2007/10/11 02:56

確率変数をx,分布関数をF(x),確率密度関数をf(x)とおけば

f(x)=F'(x)
F(x)=∫{-∞,x} f(t)dt
F(-∞)=0,F(∞)=1
F(∞)=∫{-∞,∞} f(x)dt=1
X^2の期待値E(X^2)=σ^2=∫{-∞,∞} x^2 f(x)dt
期待値(E(X))=平均(μ)=∫{-∞,∞} x f(x)dt
σ＝標準偏差
という関係があります。
正規分布N(μ,σ^2)のf(x)
f(x)={1/√(2π)}exp({-(x-μ)^2}/(2σ^2))
という関係にあります。

＞この表に出てくる確率密度関数値は、何に使えるのか、見当がつきません。
分布の特徴（標準偏差σや平均値μ）の決定や確認の為に使うのと違いますか？

参考URL：http://aoki2.si.gunma-u.ac.jp/lecture/Bunpu/norm …

この回答へのお礼

早速のご回答ありがとうございます。この資格試験問題は、
P(Z≦－2.00or2.00≦Z）を求めれば事足りるのですが、この計算をするときには全く必要ないわけですね?

お礼日時：2007/10/11 16:27

No.2 回答者： Ishiwara 回答日時： 2007/10/11 11:23

簡単に言えば、分布関数は実用的なもの、密度関数は学問的なものです。

確率の値そのものが欲しいときは、分布関数から得られ、それで用が足ります。その分布関数を求めるためには、対象を解析して、まず密度関数を求め、それを数値積分しているわけです。ですから密度関数のほうが「母親」であり、親戚とつきあう（学問的に他の分布とかかわる）ときに役立つように「子供」といっしょに紹介しているのです。

この回答へのお礼

早速のご回答ありがとうございます。この資格試験問題は、
P(Z≦－2.00or2.00≦Z）を求めれば事足りるのですが、この計算をするときには全く必要ないわけですね?

お礼日時：2007/10/11 16:24

No.3 回答者： info22 回答日時： 2007/10/11 17:33

＞P(Z≦－2.00or2.00≦Z）を求めれば事足りるのですが、この計算をするときには全く必要ないわけですね?

正規分布という事実（分布密度関数平均値=0、標準偏差=1）ということで分布関数値が意味を持ってきます。
計算自体は、分布関数値のF(2.00)が分かれば事足りますね。
P(Z≦－2.00or2.00≦Z）＝F(-2.00)+{1-F(2.00)}
＝2{1-F(2.00)}

この回答への補足

またまた早速のご回答まことにありがとうございます。

私の質問の仕方が悪かったことをお詫びします。m(__)m

＞早速のご回答ありがとうございます。この資格試験問題は、
＞P(Z≦－2.00or2.00≦Z）を求めれば事足りるのですが、この計算をす＞るときには全く必要ないわけですね?

この計算をするときには、 確率密度関数値　は全く必要ないわけですね?
　と質問したかったのです。

　確率密度関数値の事がだいぶ見えてきました。『横軸(ｘ軸)に確率変数をとって、縦軸(y軸)に確率密度関数値をとった場合、このｘｙ平面に描かれるグラフは、確率密度関数のわけですね?この確率密度関数において、確率変数（ｘの値)が0.00のときｙの値（確率密度関数値)が、 0.3938　ですよ、という事を、あの表（私が質問欄に投稿した表)の確率密度関数値の列に並んでいる数値が示しているのです』ね?
　
私が最初に質問を投稿した際に
＞確率密度関数値としてこの表に並んでいる数値は一体何の意味があるのですか?
と書いたのは、この投稿にある『　　　　』の部分のような回答を頂きたかったということなのでした。稚拙な文章による質問であなたにもご迷惑をおかけして申し訳ありませんでした。m(__)m

PS.　ちなみに『　　　　』の中身の文章は、正解ですか?
　

補足日時：2007/10/12 00:40

No.4 ベストアンサー 回答者： info22 回答日時： 2007/10/12 02:21

>この計算をするときには、 確率密度関数値　は全く必要ないわけですね?

A#3の繰り返しになりますが
P(Z≦－2.00or2.00≦Z）の計算では
確率変数2.00の時の分布関数値F(2.00)=0.9773だけを使えば計算でき
他の分布関数値や密度関数値の数値は使いませんね。

>『　　　　』の中身の文章は、正解ですか?
正解です。

この回答へのお礼

ありがとうございました。今後、文章表現能力向上にも努めたいと思います。ではまた。(^^)v

お礼日時：2007/10/13 16:15