正四面体ABCD があり、一辺の長さは6である。辺 BC の中点をM、頂点A から線分MD に引いた垂線をAH とする。
線分 MH と HD の長さの比は、□:□ であることが分かる。 ・・という問題です。
解答は、√3:2√3 = 1:2 となっていますが、なぜそうなるのでしょうか?
私は、正四面体とあり、頂点A から垂線を・・とあるので、H は直角で、MH もHD も同じ長さ(1:1)と考えてしまいます。また、1:2になるならばH は直角にはならないように思うのですが、理解できず悩んでいます。
どうか回答をお願い致します。
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
AMは正三角形の中線なので、辺の比から3√3です。
また、AD=6です。
よって、断面の△AMDは二等辺三角形ではないので
Aから△AMDの底辺MDに垂線を下ろすとその点はMDの
中点にはならない、という見方もあります。
MH=xとすれば、直角三角形AMHで三平方の定理
から、AH^2=(3√3)^2-x^2=27-x^2・・・(1)
また、DM=3√3からDH=3√3-xと表され、AD=6
より、直角三角形ADHで、AH^2=6^2-(3√3-x)^2=
=9+6√3x-x^2・・・(2)
(1)=(2)から
27-x^2=9+6√3x-x^2
-6√3x=-18
∴x=√3=MH、DH=2√3 と やはり1:2となります。
詳しい説明を本当に有難うございました。ご回答いただき理解することができました。数学が大変苦手で、些細なことから詳しく教えていただいたことで理解でき感謝しています。
No.3
- 回答日時:
AD=6 AM=MD=3√3=L (簡単のためLとおく)
ΔAMH,ΔADHは直角三角形だから
(AH^2=) AM^2-MH^2=AD^2-DH^2
MH=kMD=kL HD=(1-k)MD=(1-k)L
とすれば、
L^2-k^2×L^2 =6^2-(1-k)^2×L^2
1-k^2 =6^2/L^2-(1-k)^2
6^2/L^2=36/27=4/3だから
1-k^2 =4/3-1+2k-k^2
k=(2-4/3)/2=1/3
MH:HD=k:(1-k)=1:2
ちなみに
MH=1/3×3√3=√3
HD=2/3×3√3=2√3
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