部分分数分解

はじめまして。高校生です。
部分分数分解のやりかたが分からないものがあるんですが、どなたか分かる方がいらっしゃいましたら詳しい途中計算も含めて教えて頂きたいんですが、よろしくお願いします。

1/X(Xの２乗＋１)

これの部分分数分解です。ちなみに答えは　
１／Ｘ　－　Ｘ／Ｘの２乗＋１　です。
どなたか詳しく教えてください。

No.4 回答者： shussejizo 回答日時： 2007/12/25 20:27

もう解決した頃でしょうか。

1/X(X＋１)　ならできるのに
1/X(Xの２乗＋１) が困るのだとしたら、理由は
分母が　X　と　Xの２乗　だからでは
ありませんか？

もしそうなら、
どっちもXの２乗にそろえるように細工をして
（分母と分子に Xをかけるだけです）
やるとできますよ。

　　1 / X (Xの２乗＋１)

（分母と分子にわざとXをかけます）
= X / (Xの２乗)(Xの２乗＋１)

（分子のXは、ちょっとよけておきます）
= X { 1/(Xの２乗)(Xの２乗＋１) }

分母がXの２乗でそろったので、部分分数分解
（やりにくいときは、ここでXの２乗をＹとかおいてもよいです）
= X { 1/(Xの２乗) - 1/(Xの２乗＋１) }

外の X を分配して
= X /(Xの２乗) - X/(Xの２乗＋１)

約分
= 1 /X 　　　　 - X/(Xの２乗＋１)

がんばってくださいね

参考URL：http://www.tohtech.ac.jp/~comms/nakagawa/laplace …

この回答へのお礼

御返事遅くなってごめんなさい。
とても参考になりました。おかげで理解できました。
本当にありがとうございました。

お礼日時：2008/01/23 19:33

No.3 回答者： noname#101087 回答日時： 2007/12/03 20:40

>..... どうして、(bx+c)/(x^2+1)となっていて分子にbx+cとおいているのかが分かりません。

ごもっともな疑問ですね。

i = SQRT(-1) とすれば、
　　x^2+1 = (x-i)(x+i)
ですから、
　　1/{x(x^2+1)} = a/x + B/(x-i) + C/(x+i)
とおいてみましょう。
両辺に x を掛けて x→0 とすると、
　　1 = a

この結果を使えば、
　　1/{x(x^2+1)} - 1/x = -x/{(x-i)(x+i)} = B/(x-i) + C/(x+i)

あとは同様です。
中辺と右辺とに (x-i) を掛けて x→i とすれば B を得ます。C も同様…。

この回答へのお礼

御返事遅くなってごめんなさい。
とても参考になりました。おかげで理解できました。
本当にありがとうございました。

お礼日時：2008/01/23 19:33

No.2 回答者： debut 回答日時： 2007/12/03 01:02

No1です。

通分したときを考えてみてください。
○/xと□/(x^2+1)を通分したとき、分子だけ見れば
○(x^2+1)+□xとなりますが、○は０でない定数が入る
ので、分子は２次式になります。しかし、元の分数の
分子は１なので○ｘ^2が消えなければなりません。
そこで考えられるのは、□ｘに２次式が現れてきて
○ｘ^2を消すようなパターンです。
よって、□を１次式にすればよいと考えられます。

この回答へのお礼

御返事遅くなってごめんなさい。
とても参考になりました。おかげで理解できました。
本当にありがとうございました。

お礼日時：2008/01/23 19:33

No.1 回答者： debut 回答日時： 2007/12/03 00:03

^2 は２乗です。

a,b,cを定数として
1/{x(x^2+1)}=a/x+(bx+c)/(x^2+1)
として右辺を通分すると、
1/{x(x^2+1)}={a(x^2+1)+x(bx+c)}/{x(x^2+1)}
　　　　　　={(a+b)x^2+cx+a}/{x(x^2+1)}
左辺と係数を比較して
　a+b=0、c=0、a=1　だから、a=1,b=-1,c=0
∴1/{x(x^2+1)}=1/x-x/(x^2+1)

この回答へのお礼

ご回答頂きありがとうございました。
すみませんが、聞きたいことがあります・・・。
1/{x(x^2+1)}=a/x+(bx+c)/(x^2+1)
とあますが、
a/xとなっている通り分子にaとおくのかは分かりますが、どうして、(bx+c)/(x^2+1)となっていて分子にbx+cとおいているのかが分かりません。これは公式というか掟なのでしょうか？

お礼日時：2007/12/03 00:20