オイラーの公式の証明方法

Question

オイラーの公式e^ix＝cosｘ+isinｘは次のようにマクローリン展開を使って証明されているようです。
cosx＝1-x^2/2!-x^4/4!+・・・+{(-1)^n/(2n!)}x^2n
sinx＝x-x^3/3!+x^5/5!・・・+{(-1)^n/(2n+1)!}x^(2n+1)
e^ix＝1+ix/1!+(ix)^2/2!+・・・＝1+ix/1!-x^2/2!-ix^3/3!
＝cosx＋isinx
しかしながら厳密にn→∞において同じかどうか証明するためダランベールの収束判定というものを使わなければならないそうです。証明方法をご存知の方がいらっしゃったらご教示いただきたくお願いいたします。

kabaokaba · Accepted Answer

>ダランベールの収束判定で収束したとしても上記したように絶対値級数が収束したことを証明しなければ絶対収束することを証明できないのではないのでしょうか？（間違っていたらすいません）

Σ[n=1→∞]a_nに対するダランベールは|a_{n+1}/a_n|を調べること，
Σ[n=1→∞]|a_n|に対するダランベールは||a_{n+1}|/|a_n||を調べること，
これらの「調べるもの」に何か違いがありますか？
したがって，ダランベールで収束が判定できれば
それは「絶対収束」です（これが自明といったこと）．
したがって，e^x，cos(x)，sin(x)の展開は「絶対収束」．
そして，
「絶対収束すれば収束する」
「絶対収束級数は項の順番を変えても同じ値に収束する」
ことで証明終わり．
これらは何でもいいますが，
大学初年時の微積分の教科書に普通はでています．

>また実解析関数は教科書には載ってなく、ネットでも調べてみましたが難しくてよく分かりません。
>またその証明方法も分からず四苦八苦しております。

実解析関数はあまり出てる本はないかもしれません．
（前に挙げた「杉浦」には出てたかも）．
一度「複素解析」の初歩を一通り勉強したあとに
それのアナロジーで勉強することが多いような気がします．
多分，質問者さんの現状ではこっちのアプローチは困難だと思います．
「証明の仕方」・・・いや「リンク先の証明」で完全なんです．

おまけ：
「複素解析」の教科書で，
実解析関数まで書いてあって定評のあるもの
といえば・・
私はいわゆる「アールフォルスの教科書」しか知りません．
現代数学社という会社から邦訳がでていますが，
個人的には原書の方が読みやすいとは思います．

kabaokaba · Answer

もう少し「質問内容に即して」
（「小職の持ち合わせている教科書」とやらの内容を
想像して）書いてみます．

＞次のようにマクローリン展開を使って証明されているようです。

この段階でマクロリン展開，すなわちテイラー展開は既知なのでしょう．
すなわち「原点の近傍では級数は収束する」ことは証明すみ．

ダランベールの判定法は
a0+a_1+・・・+a_n+・・・
に対して |a_{n+1}/an|のn->∞での極限値γが存在し
γ<1であるならば（絶対）収束，γ>1ならば発散
という定理．
この定理の証明を知りたければ教科書を「複数」みましょう．
前提条件や微妙な結果の相違があるので「一冊」では不十分．
＃ダランベールの定理は「収束」としかいわないケースが多いけども
＃実際は「絶対収束」を示しているのは自明．

そこでダランベールを使って収束半径を求めると
e^x に関しては，
|(x^{n+1}/(n+1)!)/(x^n/n!)| = |x|/n+1 -> 0 (n->∞)
cos(x)，sin(x)に関しても同様．
＃実際は部分列に過ぎないからやはり自明
したがって，e^x，sin(x)，cos(x)は
収束半径∞で「絶対収束」する．

重要なのは
「絶対収束ならば順番を入れ替えても変わらない」
の定理．
これの証明も「きちんとした」教科書をみましょう．
それなりに面倒です
＃何も参照せずに証明しろといわれたら困る

kabaokaba · Answer

あなたがおっしゃる「数学的知見」とやらが
まるで分からないのですが

(1)べき級数は収束半径内で絶対収束する
(2)絶対収束級数は項の順番を入れ替えても収束値は変わらない
(3)e^x，cos(x)，sin(x)は実解析関数である
(4)e^x，cos(x)，sin(x)の級数展開を具体的に記述することは容易である

これらを組み合わせることで，
オイラーの公式が証明されるというのは
「証明方法」ではないのですかな．
これは「数学的知見」ではないのですか？？
これらはそれぞれ別個の定理であり，
もちろんすべて証明できます．

ダランベールの判定法を使うのは(1)(3)の部分だったかな．
ダランベールの判定法も，ワイエルシュトラスの優級数法も
コーシーもアダマールも「きちんとした教科書」には
普通はでてます．

>確かに絶対収束するということを言葉では理解しても数学的に実証できなければ証明したことにはならないと思います。

解析の初歩的な「まじめな」教科書には出てますって．

>小職の持ち合わせている教科書ではマクローリン展開したe^ix、cosｘ、sinｘの収束を証明するところは載っていませんでした。

それはその教科書がまずいのか，
大学初年時用の解析の教科書ではないのでしょう．

定評のある教科書をあげておきます．
東大出版会，杉浦光夫「解析入門Ｉ」「解析入門II」
岩波書店，高木貞治「解析概論」

========================================
とりあえず，リンク先を見ましたが・・・
ダランベールの収束判定を使ってるのは
e^xやsin(x)，cos(x)が実解析的であることを示すことであって，
オイラーの公式の証明の本体ではありません．
リンク先では
「実解析関数に関する一致の定理」を使って
示してるのです．
むしろ一致の定理の方が本質ですが，
オイラーの公式だけなら一致の定理や実解析性は
道具が大きすぎる気もします．
＃リンク先は「オイラーの公式」がメインではないのは明らか．

kabaokaba · Answer

>ダランベールの収束判定というものを使わなければならないそうです
これの根拠はなんでしょう？

ぶっちゃけた話，全部ベキ級数ですから
収束半径内で絶対収束であり，
絶対収束級数は「和の順序に依存しない」ので，
順番をどう入れ替えても問題ないのです．

＃いつでも勝手に順番を入れ替えてよいとは限らない．
＃絶対収束しないが収束する級数を条件収束級数といい，
＃順番を変えると収束値が異なる．これは初歩的な
＃解析の教科書に例が出てるはず．

info22 · Answer

参考URLに3通りの証明法が載っていますのでご覧下さい。
内、1つが質問者さんのお書きの方法です。

参考URL：http://en.wikipedia.org/wiki/Euler%27s_formula#Using_calculus

ddtddtddt · Answer

詳細は忘れました。

　e^ixの実部と虚部は、cosxとsinxの展開になるので、結局、cosxとsinxの展開の判定を行えば良かった、と記憶しています。結果の収束半径は、無限大です。
　cosxとsinxの展開の収束判定であれば、大学初年級の標準的Textに載っていると思います。適当な本が手元になければ、お知らせ下さい。

オイラーの公式の証明方法

>ダランベールの収束判定で収束したとしても上記したように絶対値級数が収束したことを証明しなければ絶対収束することを証明できないのではないのでしょうか？（間違っていたらすいません）

もう少し「質問内容に即して」

この回答への補足

あなたがおっしゃる「数学的知見」とやらが

>ダランベールの収束判定というものを使わなければならないそうです

この回答への補足

参考URLに3通りの証明法が載っていますのでご覧下さい。

詳細は忘れました。

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