○×式の問題2N問に無作為に解答したときの正解数がk問となる確率

○×式の問題が2N問。
N問は○が正解で、残りN問は×が正解。
解答者は無作為にN問に○を、N問に×をつける。
このとき、正解数がk問（0≦k≦2N）となる確率をp(k)とする。

○が正解のときに、○を記して正解となった問題数をx問、
×が正解のときに、×を記して正解となった問題数をy問とする。

このとき、xとyの関係を求め、p(k)を求めたいのですが、どうすればいいのでしょうか？
正解数の期待値は、Nでしょうか。

No.1 回答者： at9_am 回答日時： 2008/03/12 04:52

難しく考えすぎです。

○が正解の問題が N 問あり、○か×を無作為に選んだ結果の正解数が x 問ある確率 Px(x) は、つまり、N 個中○が x 個ある確率ということですから、
Px(x) = N! / {x!(N-x)! 2^N}
となります。同様に×についての確率 Py(y) も計算できます。

さて、問題は k=x+y について考えることです。
ここまでの説明で分かるとおり、○の解答をする総数或いは×の解答をする総数が決まっていない限り、x と y には関係がありません。
なので、それぞれから k を考えようとすると、かなり難しいことになります。
具体的には、
P(k) = Σ[i=0 k] Px(i) Py(k-i)
を計算することになります。


簡単に計算するためには、正解が○×のいずれにせよ 1/2 で正解、1/2 で不正解となるので、二項分布から
2N! / k! (2N-k)! ×(1/2)^k (1/2)^(N-k)
となります。

No.3 ベストアンサー 回答者： kumipapa 回答日時： 2008/03/12 11:03

勘違いでしょう＞ #1, #2

xとyの関係と制約は x = y , 0 ≦ x ≦ N です。○で x 問正解する場合、×(バツ)が正解の問題のうち (N-x) 問に○をつけているわけで、×を付けた方でも必ず x 問が正解。正解の数は偶数にしかなりません。

確率を求めてみると、

○と×を記入するすべての組み合わせは 2N C N 通り （○を付ける問題を2N問からN個選択すれば、×を付ける問題は決まってしまうので）

○を選んだ問のうちx問が正解である組み合わせは、○が正解のN問のうちx問に○をつけ、×が正解の Ｎ 問のうち N - x 問に○をつける組み合わせですから、N C x × N C (N-x) 通り。このとき、 2 x 問正解となります。

故に、2 x 問正解である確率 P( 2 x ) は、
P( 2 x ) = N C x × N C (N-x) ／ (2N) C N　= (N C x)^2 ／ ((2N) C N )
x = 0,1,2...N

N=2, N=3 あたりで具体的に確認してみると良いでしょう。