3の倍数と3の付く数字でアホになります。10000まで数えると？

世界のナベアツは、
「3の倍数と3の付く数字だけアホになり、5の倍数だけ犬っぽくなります」 。

彼が10000まで数えた時どうなるか？

まず「犬っぽくなる回数」。
10000÷5＝2000
2000回です。これは簡単。

では「アホになる回数」。
3.6.9.12.13.15.18.21.23.24.27.30.31.32.33……

難しいです。
どなたか回答と計算方法をお願い致します。

No.5 ベストアンサー 回答者： stomachman 回答日時： 2008/05/17 18:41

　毎秒ひとつ数えられたとしても、３時間のワンマンショー。

「世界のナベアツ」と称するからには、世界中の言葉でやってるのか？でも英語なら13はthreeが付かないぞ。まあ、大変。
　とか言ってるうちに既に答が出てるから、別のやり方でチェックしてみよう。

[1] 10000以下で「3が付かない」数を数えると、「３以外の9種類の数字を4つ並べたものは、何通り作れるか」ということだから、9^4 (9の4乗） = 6561通り。
従って、3が付く数は10000-6561 = 3439個。

[2] 一方、３の倍数は10000÷3 = 3333余り1ってことで3333個。

　両者を単に足し算したのでは「3が付いて、しかも3の倍数である数」を重複して勘定してしまうことになる。

[3] じゃあ、「3が付いて、しかも3の倍数である数」は幾つあるか。

(1) 3が4個つくのは"3333"の1通りだけ。そしてこれは3の倍数。

(2) 3が3個つく数は、(どの桁に3以外が来るかで4C1=4通り)×(その1桁は３以外の9種類の数字だから9通り）=36通り。3以外の数字がひとつあるが、この数字が3の倍数（つまり、0,6,9)であれば、この数は3の倍数。だから、(どの桁に3以外が来るかで4C1=4通り)×3通り=12通りが3の倍数。

(3) 3が2個つく数は、(どの桁に3以外が来るかで4C2=6通り)×(その2桁は３以外の9種類の数字を2つ並べたものだから9^2=81通り）=486通り。3以外の数字がふたつあるが、これらの和が3の倍数であれば、この数は3の倍数。２つの数字（どちらも3以外)の和が3の倍数になる組み合わせは、一方の数字を0,1,2,4,…,9と変えたときに、もう一方の数字が3通りずつ選べる。だから、9×3=２７通り。従って、（どの桁に3以外が来るかで4C2=6通り）×27通り=162通り。

(4) 3が１個だけつく数は、(どの桁に3以外の数字が来るかで4C3=4通り)×(残り3桁は３以外の9種類の数字を3つ並べたものだから9^3=729通り）=2916通り。3つの数字（どれも3以外)の和が3の倍数になる組み合わせを考えると、うちふたつの数字を00,01,…,99と81通り変えたときに、のこり１個の数字が3通りずつ選べる。だから、81通り×3通り=２43通り。従って、(どの桁に3以外の数字が来るかで4C3=4通り)×243通り=972通り。

という訳で、「3が付いて、しかも3の倍数である数」は、1+12+162+972=1147通り。

[4]以上から、(3が付く数)+(３の倍数)-(3が付いて、しかも3の倍数である数） = 3439+3333-1147 = 5625 ~★　(これも3の倍数！）
　つまり、半分以上アホになる。ANo.3と一致したね。って計算やってるワシもアホや～。

[5]残る問題は、アホ犬になる回数。要領は同じ。
　５の倍数ってことは、最後の桁の数字が"0"か"5"であることに他ならない。芸としてはハードルが低過ぎて詰まらない。本当にナベアツがこんな安易なことをやるのか？それでいいのか？ってのは置いとくとしても、もう説明するのめんどくさい。
　最後の桁以外の3桁について[1]～[4]と同様の計算をすれば、513通りで、これが、最後の桁が"0"である場合にアホ犬になる回数。一方、最後の桁が"5"の時には、残り３桁について「"3"がつくか、それらの数の和を3で割ると1余る」場合にアホ犬になるのであり、これは514通りある。
　だから合計1027がアホ犬になる回数。これでいいのだ。

No.4 回答者： Silentsea 回答日時： 2008/05/17 17:25

3ですが、違いました。

3の倍数計算のabcdの変動幅はa=3の場合、b=0～3　
a=b=3の場合cは0~3　以下略。

なので3334～3999の665回分を除いて

4960回

No.3 回答者： Silentsea 回答日時： 2008/05/17 17:18

9,999までの各桁数をそれぞれabcdとします

3が付く数字を求めます。
d=3の場合a,b,cが0～9で変動するので
10×10×10=1,000

c=3の場合、d=3を除きa,b,dが変動するので10×10×9
b=3の場合,c,d=3を除きa,c,dが変動するので10×9×9
a=　略　　　　　　　　　　　　　　　　　9×9×9
合計3439個

次に各桁数が3を含まない3の倍数を求めます。
3を含まない3の倍数とは、乗じる数字の各桁に1を含まない数字になります。121とか、212とか、190などですね。これらは前述した3がつく数字に該当するので除外したいわけです。
10,000÷3が3333になるので　これも各桁をabcdにするとaが0～３　他が0~9で変動します。

3以外の数字を求めるので
aが0,1,2の3つ　bcdが3以外の数字で9つ、ただしabcが0の場合d=0は除く。
よって3×9×9×9で2187個が各桁数に3を含まない3の倍数になる乗数になります。
0000だけ除外するので2186個ですか。

したがって3439+2186=5625回、アホになる

であってんのかな・・？

No.2 回答者： celestial 回答日時： 2008/05/17 17:10

１～２９９９と、３０００～３９９９、４０００～９９９９に分けるなりよ。

３の倍数はわかるなりね。下１桁が３の場合と下２桁が３の場合、下３桁が３の場合を考えるなりよ。

重複の場合は先の質問者さん同様各桁の数値の和を考えるなりよ。

No.1 回答者： natumikang 回答日時： 2008/05/17 16:33

数字を足したものを３で割り切れるか確認するとよいでしょう。

１２なら１＋２＝３　で、３は３で割り切れます。
２４なら２＋４＝６　で、６は３で割り切れます。
４２でも４＋２＝６　で、３で割り切れます。
同じように
１００００なら１＋０＋０＋０＋０＝１で３では割り切れずアホではありません。が、
９９９９は、９＋９＋９＋９＝３６で３で割り切れるので
アホになります。