群Gの部分集合Hが部分群になるための必要十分条件

お世話になります。よろしくお願いします。

群Gの部分集合Hが部分群になるための必要十分条件が
HH^(-1)＝H　であることを証明したいのですが、

「HH^(-1)⊆H」の部分までの証明は理解できたのですが、
等号を示すことができません。

分かる方、よろしくお願いします。

No.1 回答者： koko_u_ 回答日時： 2008/05/21 08:00

>「HH^(-1)⊆H」の部分までの証明は理解できたのですが、

>等号を示すことができません。

H が部分群としたときに、HH^(-1) ⊇ H が示せないということですか？
ほとんど自明なのでもう少し考えましょう。

この回答への補足

いつもお世話になっております。よろしくお願いします。

説明不足ですみません。

現在理解できている部分は
「『Hが部分群』⇔『HH^(-1)⊆H』」
「『Hが部分群』→『HH^(-1)⊇H』」でして、

分からない所は
「『HH^(-1)⊇H』→『Hが部分群』」です。

さらに数時間考えたのですが、今だに分かりません。
ヒントだけでもよいのでよろしくお願い致します。

補足日時：2008/05/21 12:59

No.2 回答者： kesexyoki 回答日時： 2008/05/21 12:20

a,b∈H⇒a・b∈H

a∈H⇒a^(-1)∈H
という部分群の定義を用いれば用意に示せますね。

この回答への補足

御回答どうもありがとうございます。
No.1さんの補足にも書いたのですが、

現在理解できている部分は
「『Hが部分群』⇔『HH^(-1)⊆H』」
「『Hが部分群』→『HH^(-1)⊇H』」でして、

分からない所は
「『HH^(-1)⊇H』→『Hが部分群』」です。

もう少し詳しくヒントを教えて頂けないでしょうか？
よろしくお願いいたします。

補足日時：2008/05/21 13:12

No.3 ベストアンサー 回答者： D733 回答日時： 2008/05/21 20:40

> 現在理解できている部分は

> 「『Hが部分群』⇔『HH^(-1)⊆H』」
> 「『Hが部分群』→『HH^(-1)⊇H』」でして、

上記が示せたのであれば、命題は証明されたことになります。
もう一度命題の意味を確認してみてはどうでしょうか。

> 分からない所は
> 「『HH^(-1)⊇H』→『Hが部分群』」です。

これは成り立ちません。反例を見つけるのは簡単なので、もう少し考えてみてはどうでしょうか。

この回答へのお礼

御回答どうもありがとうございます。

「Hが部分群」→「HH^(-1)⊆H」
「Hが部分群」→「HH^(-1)⊇H」
より「Hが部分群」→「HH^(-1)＝H」

「Hが部分群」←「HH^(-1)＝H」ですね。
解決しました！

> 「『HH^(-1)⊇H』→『Hが部分群』」です。
ここに嵌ってました。

お陰で助かりました。
どうもありがとうございました。

お礼日時：2008/05/22 00:21