等差数列の証明

初項a, 公差d である等差数列の初項から第n項までの和をSn とする。m≠nであって Sm=Sn ならば Sm+n=0 であることを証明せよ。【4STEP　数Bの173】

という問題が分かりません。解答は、
Sn=1/2n{2a+(n-1)d}
Sm=1/2m{2a+(m-1)d}
Sm=Sn のとき Sm-Sn=0 だから
1/2m{2a+(m-1)d} - 1/2n{2a+(n-1)d} = 0
よって 1/2(m-n){2a+(m+n-1)d} = 0
m≠n だから
2a+(m+1)d} = 0 ----------(1)
また Sm+n = 1/2(m+n){2a+(m+1)d}
従って(1)からSm+n=0

ということですが、なぜ
「よって 1/2(m-n){2a+(m+n-1)d} = 0」
となるのか分かりません。

その前に
Sn=1/2n{2a+(n-1)d}はいいとして
なぜ Sm=1/2m{2a+(m-1)d} なのか？です。

また、この問題のような数列って具体的には
どんな数字の列があるのかなぁと思います。

No.6 回答者： okada2728 回答日時： 2008/05/21 23:24

＞1/2m{2a+(m-1)d} - 1/2n{2a+(n-1)d} = 0

の左辺を共通因数1/2{2a+(n-1)d} でくくると、

と書きましたが、誤りでした。（共通因数などありませんでした）
正しくは、m,nについては２次式、a,dについては１次式なので最低次のaで式を整理すると、両辺を２倍した後、
2(m-n)a+m(m-1)d-n(n-1)d=0
aに関して定数項の部分について同じく最低次のdで整理して、
2(m-n)a+{m(m-1)-n(n-1)}d=0
dの係数についてm,nどちらについても2次式なのでmで整理して、
2(m-n)a+{m^2-m-n(n-1)}d=0
このdの係数はたすきがけにより因数分解できて、
2(m-n)a+{(m+n-1)(m-n)}d=0
ここで共通因数(m-n)が出て、くくると、
2(m-n){2a+(m+n-1)}d=0
です。

No.5 回答者： koko_u_ 回答日時： 2008/05/21 22:52

>教科書に出ている公式と、添字が異なっても公式の意味は理解はできます。

であるならば、

>「初項a, 公差d である等差数列の初項から第n項までの和をSn とし、
> 初項から第m項までの和をSm とする」
なる記述が単に冗長なだけだとわかるはずです。

No.4 回答者： okada2728 回答日時： 2008/05/21 22:32

＞「初項a, 公差d である等差数列の初項から第n項までの和をSn とする」と書いてありますが、Smという等差数列に関しては初項と公差が＞明記されてません。

「初項a, 公差d である等差数列の初項から第n項までの和をSn と＞し、初項から第m項までの和をSm とする」と明記してあれば分かったのですが。

初項a, 公差d である等差数列の初項から第n項までの和を、Sa,d,nと書かずにSnとあるのは項数nのみで決まることを表しているからであって（関数のf(n)みたいなものですね）、これをSmと書けばa,dは同じで（つまり同じ数列で）その第m項までの和を示すことになり、しかもそれ以外の解釈はないのではないでしょうか。

この回答へのお礼

関数のf(n)みたいなもの、ですか。ふむふむ。
「これをSmと書けば～～～第m項までの和を示すことになり、しかもそれ以外の解釈はない」、う～ん、なるほど！
言われてみるとそうですね。
分かりました。有難うございます。

しかし、計算式の方はまだ・・・

お礼日時：2008/05/21 22:55

No.3 回答者： jung_taro 回答日時： 2008/05/21 22:12

ご質問者さまのお気持ちは私もよくわかります。

もし、このＳnについて、以下の説明でご納得していただければと存じます。

「初項a, 公差d である等差数列の初項から第n項までの和をSn とする。」ならば、例えば、第５項までの和は何と表しますか？

おそらく、Ｓ(5)　と表すでしょう。（５は添字）
そのとき、実際にＳ(5)を計算すると、
Ｓ(n)のnに５を代入したときと同じものになりますよね。

同じように、第m項までの和は
Ｓ(n)のnにmを代入したときと同じものになりますよね。

ここで、mのときだけ数列が違うというのは、少し汎用的解釈からずれていると思うのです。
もし、そうであれば、
S1(n) と　S2(m) なら違う数列のそれぞれ第n項までの和と第m項までの和という解釈ができると思います。

この部分だけご納得されず、その他はすべて（計算方法等）はご理解されているということですよね。

ご参考になればと思います。

この回答へのお礼

回答、有難うございます。

なるほど。汎用的解釈ですか。う～む・・・
問題文があいまいな感じがするのです。
「初項から第m項までの和をSmとする」の一文を入れるだけで
明確になるのに・・・

> この部分だけご納得されず、その他はすべて（計算方法等）はご理解されているということですよね。

いいえ、計算方法もわかりません (^_^;;;
どうして、
1/2m{2a+(m-1)d} - 1/2n{2a+(n-1)d} = 0
が、
1/2(m-n){2a+(m+n-1)d} = 0
こうなっちゃうのか意味プーです。

お礼日時：2008/05/21 22:44

No.2 回答者： okada2728 回答日時： 2008/05/21 10:49

1/2m{2a+(m-1)d} - 1/2n{2a+(n-1)d} = 0

の左辺を共通因数1/2{2a+(n-1)d} でくくると、
1/2(m-n){2a+(m+n-1)d} = 0
です。

Sn=1/2n{2a+(n-1)d}　(n=1,2,3,・・・,n,・・・,m,・・・)
ですから、
Sm=1/2m{2a+(m-1)d}　(n=1,2,3,・・・,n,・・・,m,・・・)
です。

この回答へのお礼

回答有難うございます。

> 1/2m{2a+(m-1)d} - 1/2n{2a+(n-1)d} = 0
> の左辺を共通因数1/2{2a+(n-1)d} でくくると、

この計算ができません (^_^;;
結果を検算すると、
1/2(m-n){2a+(m+n-1)d} = 0
(1/2m-1/2n){2a+(m+n-1)d} = 0
1/2m{2a+(m+n-1)d} - 1/2n{2a+(m+n-1)d} = 0
1/2m{2a+(m-1)d} + 1/2mnd - 1/2n{2a+(n-1)d} - 1/2mnd = 0
1/2m{2a+(m-1)d} - 1/2n{2a+(n-1)d} = 0
確かに答えは合っていることを確認できますが、
この逆の順序で計算するということでしょうか？

> Sn=1/2n{2a+(n-1)d}　(n=1,2,3,・・・,n,・・・,m,・・・)
> ですから、
> Sm=1/2m{2a+(m-1)d}　(n=1,2,3,・・・,n,・・・,m,・・・)

「回答ANo.1」のお礼にも書きましたが、
「初項a, 公差d である等差数列の初項から第n項までの和をSn とし、
初項から第m項までの和をSm とする」という意味である、ということが
読み取れませんでした。

お礼日時：2008/05/21 22:16

No.1 回答者： koko_u_ 回答日時： 2008/05/21 07:51

>Sn=1/2n{2a+(n-1)d}はいいとして

>なぜ Sm=1/2m{2a+(m-1)d} なのか？です。
同じことが書かれているのに、わからないのは和の公式が理解できていないということです。

>また、この問題のような数列って具体的には
>どんな数字の列があるのかなぁと思います。
これも和の公式が「2次関数」であることを理解すれば、具体例を考えるのは容易だと思います。

この回答へのお礼

早々に回答して頂き有難うございます。

> 同じことが書かれているのに、わからないのは和の公式が理解できていないということです。

教科書に出ている公式と、添字が異なっても公式の意味は理解はできます。

私の質問のしかたが舌足らずでした。
問題文は、
「初項a, 公差d である等差数列の初項から第n項までの和をSn とする」と書いてありますが、Smという等差数列に関しては初項と公差が明記されてません。
「初項a, 公差d である等差数列の初項から第n項までの和をSn とし、初項から第m項までの和をSm とする」と明記してあれば分かったのですが。
この様に明記されてなくても、当然そのように解釈しなければいけないのでしょうか。問題の出しかたがよくないのでは、と思います。

お礼日時：2008/05/21 20:46