カオスのアトラクター

カオスの話で，緩和時間の後には，変数がアトラクターの周りを回り続ける，という話を聞いたことがありますし，実際ローレンツ方程式などでシミュレーションをするとそうなるのですが，アトラクターが存在するという事実はなんらかの方法で示されているのでしょうか？
二重振り子にはアトラクターが存在しないという記述も見かけたのですが，それも良く分かりませんでした．

No.1 回答者： egg2006 回答日時： 2008/07/26 22:08

私の勘違いかもしれませんが、今ひとつ、ご質問がピンと来ません。

アトラクターの存在証明ですか？
アトラクターには、固定点アトラクタ，周期点アトラクタ，ストレンジアトラクタなど様々ですが、ローレンツのカオスアトラクタについてでしょうか？
こんな感じ？
http://www.gifu-nct.ac.jp/elec/deguchi/sotsuron/ …

振幅や速度は初期状態に依存する振り子などの運動は、アトラクタとは呼ばないということは、既知でよろしいでしょうか？

もっと、高度な回答をお求めでしたら、すみませんでした。

この回答への補足

そうですね，存在証明のようなものをお願いします（数学的に厳密でなくてもよいのですが・・・．現段階では，アトラクターが生じるという事実が不思議でたまらないので．）

リンク先のページを読んだのですが，
「シミュレーションをすれば実際アトラクターが見られる」
という文章かと思います．なぜアトラクターが生じるのか，知られているのでしたらご教授下さい．


なるほど，初期状態に依存する軌道をアトラクターとは呼ばないならば，二重振り子はアトラクターが存在しませんね．分かりました．

補足日時：2008/07/27 00:29

No.2 回答者： cyototu 回答日時： 2008/07/28 09:51

カオスの問題でアトラクターが存在するための必要条件は、運動方程式（連続な時間変数の場合でも、不連続な写像の場合でも）の中に散逸項、すなわち時間の対称性を破っている項が存在していることです。

散逸項のお陰で初期条件の中に有った情報が運動中に失われて行くので、初期条件には無関係なある運動形態に引きつけられて行く、すなわちアトラクトされるのです。そのアトラクターが＃１さんの言ういろいろなアトラクターのどれに近づいて行くかは、個々の運動方程式の形の違いで違って来ます。

私自身は散逸の無い場合のカオスに付いては色々な経験がありますが、散逸系のカオスの専門家ではありませんので、例えばストレンジアトラクターになるための十分条件がどんな物かは知りません。何方かご存知の方が居りましたら教えて下さい。

上のことから、通常の意味での二重振り子にアトラクターが存在しないことは明らかです。何故なら通常、二重振り子と言う時には、その運動方程式に散逸項が無い場合を言うからです。もし、二重振り子の運動方程式の中に摩擦項などの散逸項を付け加えれば、アトラクターが現れる可能性はあります。

No.3 回答者： egg2006 回答日時： 2008/07/28 13:56

ローレンツのシミュレーションのように、初期条件の微量な差によって、引き起こされる状態は、しばしばポアンカレ断面で説明されます。

相空間の中での点集合は、この位相としての推移的な吸引集合の領域として描かれます。これをアトラクターといい、時として奇妙な形を生み出します。

強制振動の振り子運動の場合も位相点集合の面積は時間とともに、ある方向には伸縮し、別の方向には伸び、収縮・伸長の方向は、位相空間の各点で異なります。その結果、位相空間内で非常に接近した2つの点は時間の経過とともにはるかに離れて見出されることになります。
隣接した各位相点の軌道は折り畳まれ多くの層からなるカオスアトラクターを生み出していくことになります。

この隣接した2つの位相点の軌道は、交わることなく有限領域内を動き回っています。この軌道の引き伸ばされる概念に軌道拡大率というものがあり、定常状態とカオス状態を区別する重要な物理量があります。

初期の点とそのすぐ近くの別の点を考え、n単位時間後に軌道の差が初期の差のA倍になっているとき、
A＝exp(nλ)
という関係があり、このλを軌道拡大率といいます。
λ＜0の時は、A＜１となり、時間の経過とともにnが無限大になると、Aは0に近づいていきます。これは、軌道が一つになっていくことを意味しています。（Aは2つの軌道の差ですので。）
これが定常状態です。

一方、λ＞0のときは、A＞1となり、時間の経過とともにn→∞で、Aも無限大となり軌道が大きくずれていくことになります。

簡単ですが以上で説明を終わります。私の能力では、これが限界です。
回答になっているか自信がなく、申し訳ありません。