【一様な線密度λで帯電した長さ2lの細い棒がある。いま、この棒の垂直二等分線上、棒からaだけ離れたP点に点電荷Qをおく。点電荷の受ける力を求めよ。】
という問題があるのですが、私は棒上のある点をAとしてそのA点とQwo結んだ線の長さをr、点Aと点Pと棒の中心を結んだときにできる角度をθとして、
f = dF = Qλkcosθ/r^2
という式をつくり、それを
F = ∫[θ0←(-θ0)]fdθ
(θ0は点Pと棒の先端との角度です。また、cosθ = a/rとなります。)とおいて、解こうとしたのですが、答えが解答と合いませんでした。
解答では棒上にdxを設定してxで積分しはじめています。そちらはそちらで理解できました。
私の式の立て方の間違い(があると思うのですが)は、dFという微小部分の値を出すためには、右辺にもdxなどのように微小部分の値を設定しなければいけなかった、ということなのでしょうか?(半分カンで、そうなのかなと思ったのですが…)
よろしくお願いします。
No.3ベストアンサー
- 回答日時:
> 私の式の立て方の間違い(があると思うのですが)は、
> dFという微小部分の値を出すためには、
> 右辺にもdxなどのように微小部分の値を設定しなければいけなかった、
> ということなのでしょうか?(半分カンで、そうなのかなと思ったのですが…)
まさにその通りです.
λは電荷の線密度ですから単位は [C/m] です.
長さを掛けないと電荷の単位になりません.
x 付近(正確に言えば,x~x+dx)にある電荷は λdx としないといけません.
これで [C/m]×[m] でめでたく電荷の単位 [C] になります.
こうすると変数が x とθになりますが,両者は関係がありますから,
どちらか片方に統一して考えれば自然に積分ができます.
大学初年級を教えていますと,(上の例で)dx を掛けることを忘れる
(というか,理解していない?)学生さんは多いです.
で,最後に積分しないといけないからというのでテキトーに d(なんとか)をつけると
質問のようにしばしば誤った結果になります.
面積のことを思い出すとよいでしょう.
∫{a→b} f(x) dx で面積 S が出せますが,
x~x+dx の部分の面積は f(x) dx であって,単に f(x) ではないですよね.
だから,dS = f(x) dx なので,
自然に S = ∫{a→b} f(x) dx が出るわけです.
あとから人工的に(?) dx をつける必要はありません.
No.2
- 回答日時:
#1の回答者です。
すみません。
rを「定数」の仲間にしてしまっていました。
dF = 定数×λcosθ・dθ
ではなく
dF = 定数×λ/r^2・cosθ・dθ
ですね。
失礼しました。
No.1
- 回答日時:
こんばんは。
まず、
dF = Qλkcosθ/r^2
という式は、微小量と通常の量をイコールで結んでいるので、まずいです。
たぶん、dF = Qλkcosθ/r^2・dθ とかですか。
私はよくわからないので、
dF = 定数×λcosθ・dθ
とでも置いておき、以下、話を進めます。
--------------(ここから重要)------------------
点Pから点Aを見るとき、
θ=0 付近のときは、棒を真正面に見ています。
ところが、θが0から離れるにつれ、棒を斜めに見ることになります。
つまり、同じ θ 幅(θ の範囲)であっても、それに対する棒の長さの範囲(幅)は異なります。
|θ|が π/2 に近いほど、部分的な棒の長さ(棒の電荷)を大きく取ってしまうということです。
A = asinθ
dA = acosθ・dθ
(電荷で書けば、 λ/L・dA = aλ/L・cosθ・dθ )
(Aはxのことで、dAはdxのことです。)
--------------(ここまで重要)------------------
上記より、dθ = dA/(acosθ)
dF = 定数×λcosθ・dθ
= 定数×λcosθ・dA/(acosθ)
= 定数×λ/a・dA
以上のことから、
F = ∫dF = ∫[θ=-θ0→+θ0] 定数×λcosθ・dθ
= ∫[A=-L→+L] 定数×λ/a・dA
たぶん、模範解答の式の形になっているのではないかと思いますが。
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