なぜ常に-1≦cosX又はsinX≦1が成り立つのでしょうか。

Question

本当にXがどのような値をとっても成り立つのでしょうか。
丁寧に説明していただけるとありがたいです。

info22 · Accepted Answer

XY座標平面で原点を中心に半径r=1の円C
x^2+y^2=1
の円周上の点P(x,y)の座標が
x=cosX
y=sinX
Xは点Pの偏角∠POAになります。
ここで、Oは原点、Aは円CとX軸の正側との交点(1.0)です。
x,yは半径r=1の円周上の点ですから
x,yは-1≦x≦1,-1≦y≦1の範囲の値しかとりません。
P(x,y)=(cosX,sinY)
なので
-1≦cosX≦1,-1≦sinX≦1
ですね。

見方を変えれば
(sinX)^2+(cosX)^2＝1
という公式がありますね。
この公式で
(cosX)^2≧0,(sinX)^2≧0から
(cosX)^2=1-(sinX)^2≧0 → (sinX)^2≦1 → ∴-1≦sinX≦1
(sinX)^2=1-(cosX)^2≧0 → (cosX)^2≦1 → ∴-1≦cosX≦1

sanori · Answer

こんにちは。

「なぜ常に-1≦cosX又はsinX≦1が成り立つのでしょうか。」
は、ちょっと変ですね。

「なぜ常に－１≦cosｘ≦１、および、－１≦sinｘ≦１が成り立つのでしょうか。」
のほうがよいと思います。

座標が（cosｘ，sinｘ）の点は、原点（０，０）を中心とした半径１の円の円周上にあります。
（描いてみてください。そして、sin、cos の定義を思い出してください。）

円の方程式は、
（Ｘ　－　中心のＸ座標）^2　＋　（Ｙ　－　中心のＹ座標）^2　＝　半径^2
ですから、
（cosｘ）^2　＋　（sinｘ）^2　＝　１
です。

（ここからＮｏ．３様の回答とかぶりますが）

（cosｘ）^2　＝　１ －（sinｘ）^2　＝　１ － 実数の２乗
　　＝　１ － ゼロ以上の数　≦　１
よって、　
｜cosｘ｜　≦　１
－１　≦　cosｘ　≦　１

同様に、
（sinｘ）^2　＝　１ －（cosｘ）^2　＝　１ － 実数の２乗
　　＝　１ － ゼロ以上の数　≦　１
｜sinｘ｜　≦　１
－１　≦　sinｘ　≦　１


以上、ご参考になりましたら。

（※：　Ｎｏ．２様がおっしゃるとおり、ｘが虚数だと、違う話になります。）

Ae610 · Answer

余計な事かも知れませんが・・・、

-1≦cosX又はsinX≦1
はXが実数の範囲で考えている場合に成り立ちます。

Xを複素数に広げて考えると1≦|cosX| , 1≦|sinX|
があり得ます。

rphnn150 · Answer

成り立ちます。分母にくる辺が、一番長いからです。

sinXやcosXの値は、”直角三角形”を使って求めます。今、直角三角形ABC（∠B=90度、∠Xは∠A、∠Bを指す）を考えます。
sinXとcosXは分数です。その”分母”の値を与える辺ACは、直角三角形ABCで一番長い斜辺です。
一方、”分子”の値を与える辺AB、BCは、斜辺ACよりも短い辺です。
このように、sinXとcosXを与える分数において、直角三角形ABCの中で一番長い斜辺ACの値が分母に来ているので、Xがどんな値をとっても
-1≦cosX≦1、-1≦sinX≦1
が成り立つのです。

ちみみに
tanXはABとBCの分数です。ABとBCの大小関係はさまざまですから、sinとcosとは対照的に、どんな値でもとれます（-∞< tanX <＋∞)

なぜ常に-1≦cosX又はsinX≦1が成り立つのでしょうか。

XY座標平面で原点を中心に半径r=1の円C

こんにちは。

余計な事かも知れませんが・・・、

成り立ちます。

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