数学で知識を整理したいです 同値性を意識する時はある命題の逆と同値になっていなければならないんですよ

数学で知識を整理したいです

同値性を意識する時はある命題の逆と同値になっていなければならないんですよね？

a→b と b→a でなければいけない
対偶は常に成り立つ (ここではAでないをAーと表記します)

aー→bー と a→b は成り立つ

ならすべての関係

すなわち ある命題に対して同値といいたいならば

ある命題の逆裏対偶が全て成り立つということですか？

背理法とは何ですか？

質問者からの補足コメント

• 背理法ってなんですか…？

    補足日時：2022/08/06 18:06

No.6 回答者： funoe 回答日時： 2022/08/09 08:55

背理法

もしＡだとすると、かくかくしかじかで矛盾が生じる。
　つまりＡじゃないんだ。
という証明方法。

同じことだけど（ホントは微妙には異なるけど気にしない）、
もし、Ａじゃないとすると、かくかくしかじかで矛盾が生じる。
　つまりＡなんだ。
という証明方法。

「Ａ」か、「Ａじゃない」のどっちかは真だから
「Ａ」で矛盾が生じるなら「Ａじゃない」ってことにしよう。
また
「Ａ」か、「Ａじゃない」のどっちかは真だから
「Ａじゃない」で矛盾が生じるなら「Ａ」ってことにしよう、
　というキメ。　キメ（ルール）だから素直に従うべし。


例示）
もし岸田文雄が日本人でないとすると、
　日本人でない岸田文雄は国会議員になれない。
　　（公職選挙法第10条）
　国会議員になれない岸田文雄は総理大臣になれない。
　　（憲法67条）
　でも岸田文雄は総理大臣を務めている。これは矛盾だ。
ということは、岸田文雄は日本人である（日本国籍を持っている）。

No.5 回答者： Tacosan 回答日時： 2022/08/06 19:21

命題の「同値」と背理法との間に, 特にこれといった関係があるわけじゃない.

ある命題を証明するときに「その命題の否定を仮定して矛盾を導く」というのが背理法 (帰謬法) という手法.

No.4 回答者： funoe 回答日時： 2022/08/05 11:27

たぶん、こういうことを確認したいのかな？

命題ａと命題ｂの同値を言いたいときは、
ａ→ｂ　と　ｂ→ａ　を示せばよい　　　ＯＫ


ｂ→ａ　は　ａ→ｂ　の逆なので、
命題ａと命題ｂの同値を言いたいときは、
「元の命題(ａ→ｂ)とその命題の逆（ｂ→ａ）を示すってこと」

ところで、
　￢ａ→￢ｂ　　は　ａ→ｂの裏であるとともに
　　　ｂ→ａ　の対偶だから　ｂ→ａと真偽が一致し、
　
￢ｂ→￢ａ　　は　ｂ→ａ　の裏であるとともに
　　　ａ→ｂ　の対偶だから　ａ→ｂと真偽が一致する。

まとめると、
命題ａと命題ｂの同値を言いたいときは、
　命題ａ→ｂ　とその逆（ｂ→ａ）を示すってことで
そのときには自動的に
　命題ａ→ｂの裏(￢ａ→￢ｂ)も対偶（￢ｂ→￢ａ）も示せてるよね

ってことを確認しかったのかなぁ。
　もし、それなら「ご理解のとおり」です。

No.3 回答者： funoe 回答日時： 2022/08/05 08:56

あなたが書いている

＞a→b
も、命題だけど
単独の「ａ」も「ｂ」も命題。

ａとｂが命題だから　a→b が命題になる。
（ついでにいえば　ａ∧ｂとかａ∨ｂも命題になる）

「→」がないのでいうと、たとえば
「１＜２」も命題（真）だし、「φ∈φ」も命題（偽）。






＞同値性を意識する時はある命題の逆と同値になっていなければ・・・
ちょっと君の言いたい真意がわかんない。

「ａ」と「ｂ」の同値を言いたいなら、
「a→b」と「b→a」を示す。

「ａ」も「ｂ」も「ａ→ｂ」も全部命題なんだけど、なにとなにの同値の話しをしたいのかな？

この回答へのお礼

a→bの逆がb→a なので同値性というのは裏対偶逆全てを満たさないと行けないのかと

お礼日時：2022/08/05 10:06

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2022/08/04 19:10

あらゆる「命題」に対して「逆」「裏」「対偶」があるわけじゃない. そこは OK?

ちなみに背理法というのは「A ならば B」という形の命題が成り立つことを示すために, その否定「A であって B でない」を仮定に追加することで「矛盾が導ける」ことを示すという手法.

この回答へのお礼

あらゆる「命題」に対して「逆」「裏」「対偶」があるわけじゃない.

何か具体例をお願いしてもいいですか？

お礼日時：2022/08/04 19:26