猿の惑星と相対性理論

Question

具体的には最後に挙げる例で、折り返し地点での宇宙船の中の時計の進み具合は地球から見た場合、どのようになるのでしょうか？　宇宙船は光速度に近い運行が可能とします。目標の折り返しが瞬間というのも考えにくいので、１ヶ月かかるとします。出発、到着のときに要する加速度期間もそれぞれ一ヶ月。往路や復路の光速度に近い等速度運行で１年の時間の遅れ（進み？）が出たと仮定します。

このとき、地球から見た場合の宇宙船内の時計の進み具合を具体的に教えてください。

【パラドクス３】双子のパラドックス：猿の惑星
宇宙旅行から帰ってきたら、地球では何万年もの歳月が流れていて、人類は猿たちの家畜と化していた。
だが、相対性理論では、宇宙船で出かけた人も地球に残った人も立場は相対的なはず。宇宙旅行に出かけて帰ってきた人の時計が絶対的に遅れて歳をとらないのは相対論に矛盾する！
＜解釈＞
宇宙旅行に飛び出し、ある時点で軌道を地球に向けて戻ってきたとします。アリスは地球に残り、ボブは宇宙船に乗っって宇宙旅行にいったとします。本来は「アリスはボブの時計が遅れていると思うし、ボブは逆にアリスの時計が遅れていると思う」という相対的な状況となるはずですが、これが崩れて”ボブの時計が物理的に絶対的に遅れている”ことがこのパラドックスなのですね。
この秘密は、宇宙船の「折り返し点」に隠されているのです。つまり、折り返し点では宇宙船の速度が変化します。つまり折り返し点では一旦速度０となり、それから地球に向かって走りだすわけですが、このとき速度が変化しますので加速度がかかることになります。加速度がかかると、”時計は絶対的に遅れる”ことが一般相対性理論からでてきます。つまり、加速度のかかったボブの立場はもはやアリスと相対的ではなくなります。
ボブが自分の時計を見ている限り、折り返しは一瞬の出来事だが、ボブが遠く離れたアリスの時計を見ていると、なんと、折り返しの直前と直後とで、時計の針がピョンと飛ぶように見える。一気に時計が進んでしまう。これがボブの時計が遅れる原因である。http://hb3.seikyou.ne.jp/home/E-Yama/relativityparadox.htm

shiara · Accepted Answer

以下の条件とします。
宇宙船は、地球から等加速度a(m/s2)で飛行し、地球時間で１ヵ月間で光速度の30％に達するものとする。この後は等速度で飛行する。目的地の近くで-a(m/s2)で減速し、1か月で目的地に到達する（速度0）ものとする。
目的地までの距離の指定がありませんでしたので、片道で1年の時間の遅れが生じる距離に設定します。仮に片道の全行程を光速度の30％で移動した場合、1年の時間差が生じるためには、約20年間飛行しなければなりません。そうすると、全行程の距離は、約6光年となります。

初めに、地球時間の1ヵ月間で光速度の30％となる加速度aを求めます。tanh(at/c)＝v/cの式で、v/c＝0.3なので、ここからsinh(at1/c)を求め、次にaT1/c＝sinh(at1/c)からaT1/cを求めます。ここでT1＝１ヵ月間（0.0821年）とすると、a＝36.4（m/s2)となります（この加速度は、地球の重力加速度の3.5倍ありますので、これで1ヵ月の加速は人間には耐えられないでしょう）。
このaを使って、それぞれの時間の経過を求めます。

地球から見た場合の、宇宙船の時間は以下のとおりです。
最初の加速では、地球ではT1＝0.0821年が経過、宇宙船では以下の式から、t1＝0.0808年が経過します。
aT1/c＝sinh(at1/c)
なお、この間に移動する距離は、以下の式から、0.0126光年となります。
X＝c^2/a・(√(1+(aT1/c)^2)-1)
次に、等速度時の時間ですが、地球で20年（T2）が経過したとすると、t2＝T2√(1-(v/c)^2)より、t2＝19.0788年となります。
最後に減速のときは、加速の時と同じになり、T3＝0.0821年、t3＝0.0808年となります。これらの合計は、T＝0.0821+20+0.0821＝20.1642年、t＝0.0808+19.0788+0.0808＝19.2404年となります。この差は0.9238年です。

今度は、宇宙船から見た地球の時間を求めます。
τ1＝v/a＝0.07835年
τ2＝t2√(1-(v/c)^2)＝19.0788×0.954＝18.2年
τ3＝(c/a+L/c)・v/c＝1.8859年
（Lは6光年＋加速度運動した距離0.0126光年×2＝6.0252光年となります）
この合計は、τ＝0.07835＋18.2＋1.8859＝20.1642年となります。
宇宙船では19.2404年経過しますが、宇宙船から見ても地球で経過する時間は20.1642年です。

目的地から帰ってくる時も同じ値となります。目的地から地球に向かって加速している時は、宇宙船から見て、宇宙船では0.0808年、地球では1.8859年経ちます。以下同様です。
ここで書いた式を使えば、他の条件でも計算できますので、ご自分で計算をしてみて下さい。
まだ回答していない質問がありましたので、回答します。
「一般相対性理論では加速度と重力は等価であり加速度をあげると時間が遅れるとのことですがではマイナスの加速度中では時間が早くなるのでしょうか？」について
時間の遅れは、既に式で書いたように、Δτ＝Δt√(g00－(v/c)^2)で与えられますので、g00が分かればよいのです。加速度と重力が等価、ということにとらわれずに、加速度系でのg00、重力場でのg00を使えばよいのです。
「加速度と重力が等価という時、これらの量は方向性を持たないスカラー値を取ります。スカラー値には「マイナスはない」ので、マイナスの加速度というのは「物理的に意味がない」のです。」については、意味が分かりません。

shiara · Answer

宇宙船から見れば、地球はあるとき自由落下を始めて、無限の彼方に落ちていくように見えます。これは、宇宙船が加速度運動を行うことで生じる慣性力によって、見かけ上の重力が働くからです。このように自由落下する物体の固有時τと宇宙船の時間tとの関係は、次の式で与えられます。
τ＝(c/a＋x/c)tanh(at/c)
tanh(at/c)＝v/c
宇宙船が地球を出発する時は、地球は宇宙船の場所にあるので、x=0です。宇宙船が減速する時は、x=Lとなります（このxは、v=0となる位置です）。この違いによって、τ1＝v/a、τ3＝(c/a+L/c)・v/cとなります。
前回は書いていなかったのですが、加速時の宇宙船の固有時tは、上の2番目の式で与えられます。これは、減速する時も同じです。慣性系での時間との関係では、aT/c＝sinh(at/c)となります（Tは、宇宙船が速度vで動いていると観測される慣性系での時間）。また等速時は、t＝T√(1-(v/c)^2)となります。tは常にTより小さくなります。

Tacosan · Answer

#9 が間違ってたので訂正 (なお, 以下では全て「同時である」時刻のみを考えます):
地球から見る方は簡単で, どの時点においても宇宙船の方がゆっくり時間が進む. どのくらい「ゆっくり」かは, そのときの速度に依存する.
逆に宇宙船から見るときは
・宇宙船が転回している期間は地球の方が早く進む
・その他のとき (等速度運動をしているとき, 地球から出発するときの加速期間と地球で止まるための減速期間) は地球の方がゆっくり進む
従って「宇宙船が転回している」間は最終的な結果より大きくずれ, その「ずれすぎた」分はその他の期間における「ゆっくり進む」分と相殺されます.

Tacosan · Answer

えぇと....
厳密にいうとその「τ」は「宇宙船での当該時刻における, 宇宙船から見て『同時』であるような地球での時刻」ですよね＞#10. 「宇宙船から見て地球の時間の流れがどう『見える』か」ということを考えるなら光が届くまでの時間を考慮しなければなりません.
例えば, 「瞬時にUターンしても、地球ではLv/c^2の時間が経過する」というのは「U ターンする前としたあとで, それぞれの時刻と同時な地球での時刻が Lv/c^2 だけ違う」ということであって「U ターンの前後で宇宙船から観測できる地球の時計が Lv/c^2 だけ進む」ということではありません.

shiara · Answer

加速度系から見た場合の、物体の時間の進み方について説明します。
一般の座標系から見て、物体が点Aから点Bに移動したとき、その物体の動いた軌跡の四次元的距離Δsは、次の式となります。
Δs^2＝gμν・Δxμ・Δxν　　(1)
ここで、点Aと点Bの座標の差をΔxμとし（μは添字で、時間の0、空間の1～3を表す）、その座標系での計量テンソルをgμνとします（それぞれの添字は、上付きと下付きがありますが、ここでは書き分けることは困難なので、区別しないで記載します）。
その物体の固有時τ（その物体が感じている時間）は、上記のΔsを使って
Δs＝c・Δτ　　(2)
の関係があります（cは光速度）。
質問者様が知りたいことは、この固有時τと、座標系の時間変数ｔとの関係になります。(1)をΔt、Δx、Δy、Δzで書き表すと、
Δs^2＝g00(・cΔt)^2＋g11Δx^2＋g22Δy^2＋g33Δz^2　　(3)
（gμνは、対角成分のみとなるように座標系をとっているものとします）
(3)式の右辺の第2項から第４項までの和は、点Ａと点Ｂの間の空間距離を表しますので、これを-Δr^2とおきます（空間の計量を負に取っていますので、マイナスが付きます）。つまり、
Δs^2＝g00(・cΔt)^2－Δr^2　　(3)’
これに(2)を入れると、次のようになります。
(c・Δτ)^2＝g00(・cΔt)^2－Δr^2　　(3)’’
これを変形して、Δτを求めると、以下となります。
Δτ＝Δt√(g00－(v/c)^2)　　(4)
（Δr/Δt＝vとおきました。これは、この物体の移動する速さです）
(4)式は、任意の（ただし、計量が対角型の）座標系から見た場合の、物体の固有時τと、座標系の時間変数tの関係を与える式です。g00が分かれば、具体的な時間の関係が分かります。なお、慣性系では、g00は1なので、(4)式は、ローレンツ変換から求められる時間の遅れの式と同じになります。
今、一定の加速度aで一定方向に運動している宇宙船を考えます。この宇宙船に固定した座標系では、g00は次の式で与えられます。
g00＝(1+ax/c^2)^2　　(5)
ここで、宇宙船が進んでいる方向をx軸とします。(5)の中のxは、宇宙船から見て座標xの位置ということです。地球から宇宙船が離れていくのであれば、地球の位置xは負になります。
この式から分かることは、axが正で大きいとg00も大きくなり、ΔτはΔtより大きくなるということです（(4)でvが大きくなってもv/cは1程度にしかなりませんから、ax/c^2が1程度であれば、(4)のルートの中は3程度になります。加速度aが地球の重力加速度程度の10m/s2でxが1光年であれば、ax/c^2は1程度になります）。ΔτがΔtより大きくなるということは、宇宙船から見た地球の時間の進み方が速いということです。
axが正であるとは、宇宙船が地球から離れる方向に動いていてかつ減速している場合（a、xとも負）、もしくは地球に向かって加速している場合です。もっと簡単に言うと、Uターンをするときです。ですから、Uターンをするときは、地球での時間の進み方が速くなります。
具体的な時間の経過は、(4)の微分方程式を解く必要がありますが、結論だけ述べると、以下ようになります。
地球と、目的地（Uターンするところ）との距離をLとします。地球を出発した宇宙船は、速度がvになるまで一定の加速度aで加速するものとします。速度がvになったところで等速度で飛行し、目的地に近付いたら、-aの加速度で減速し、目的地でちょうど速度がゼロになるものとします。このとき、宇宙船から見た地球の時間τは、次の式で与えられます。
最初の加速のときは、τ1＝v/a
等速度運動では、τ2＝T2√(1-(v/c)^2)（T2は宇宙船内の時間）
目的地前の減速時は、τ3＝(c/a+L/c)・v/c
ここで注目したいのは、加速度aが非常に大きくなった場合（瞬間的に加速した場合）、最初の加速のときは、地球での経過時間はゼロに近付きますが、目的地前の減速では、Lv/c^2になるということです。つまり、瞬時にUターンしても、地球ではLv/c^2の時間が経過するということです（Uターンという意味では2倍しなければなりませんが）。
以上の説明は、メラーの相対性理論に書かれていることなので、詳しいことが知りたいのであれば、それを読むことをお勧めします。

Tacosan · Answer

「相対論の正しい間違え方」という本を読めば, 多分わかる.
加減速期間では, (片道につき) 合計 1年を越えて時間が遅れます. このうち「1年を越えた」分は途中の等速度運動をしているところの時間の進みの違いと相殺され, 最終的には (片道で) きっちり 1年ずれるということになります.

ORUKA1951 · Answer

＞以下に直接答えていただければいいだけなのですが。

＞一ヶ月の加速期間＞光速度のたとえば３０％の等速度運転（時計の１年の遅れをともなうと設定する）＞1/2ヶ月の折り返し地点での減速期間

　ですから、根本的に間違っています。行きだろうが帰りだろうが、はまったく関係なく、加速度を受けているかいないかだけが問題です。
　等速直線運動のときは、相手の時計はいつも遅く見えているわけです。それぞれの座標系に置いて光の速度は一定ですから。

　問題の主題は、一緒に運動していた二つの座標系の一方が加速度、すなわちより大きな重力場に存在すれば、そちらの時間が遅れる。

　一般相対性原理の問題を特殊相対性原理の範疇で解こうとするから、解法--考察方法自体が間違っているのです。「宇宙船の「折り返し点」に隠されているのです。」という仮定自体がおかしい。
　「加速度がかかると、”時計は絶対的に遅れる”ことが一般相対性理論」と言っているように、加速度が加わるのは、加速時と減速しているときです。

A(加速開始)
　　　-時間遅れ-
　(加速停止)
　　　等速直線運動
　(減速開始)
　　　-時間遅れ-　Ｂ地点で折り返す
　(減速停止)
　　　等速直線運動
　(減速開始)
　　　-時間遅れ-
　(減速停止)Ａ地点

-(減速再開)-時間遅れ-(減速停止)(A)

　運動の方向（折り返し地点）は関係ないのが分かりますか？

debukuro · Answer

あなたが言われるのは双方が慣性系の場合です
この場合は最終的に比較することが出来ないがそういうことが出来るとすればという仮想実験です
慣性系と加速度系では違うはずですが
相対性理論　アインシュタイン著
をお読みください
古書店で５０円です

ddtddtddt · Answer

当方も社会人なので、#4さんのような細かい議論はできません。ただ読んでみて、一つ気になった事があります。

　質問文で、
＞地球から見た場合の宇宙船内の時計の進み具合を具体的に・・・

と仰っておられますが、宇宙船の時計の遅れは「そう見えるだけだ」と思っていないでしょうか？。

　一般「相対性」理論においても、加速度を受けた系と、そうでない系は「絶対的」に区別できます（その点では、ニュートン力学と同じです）。従って、宇宙船の時計の遅れは「現実のもの」となります。

　誤解していたら、すいません。

ORUKA1951 · Answer

＞加速度期間は一応設定していて、そのときの時計の進み具合は
地球の重力は無視して、二人が一緒に一緒に浮かんでいるとして考えると単純化できるでしょう。
　さて一方が加速して---この状態で彼には重力と等価な力を受けることになります。そして減速します。---このときも同じです。---そして元の位置に戻る。
　両者で違うのは、加速度＝重力があるかないかですね。
　これが両者の時間の早さの違いに現れるのですから、加速度、すなわち力を受けた方向には関係なく、加速度を受けたほうが時間の進み方が遅い。
　お互いに相手は自分に対して相対的に加速度運動をしているように見えますが、彼らが置かれている重力/加速度場は違う。

　加速度は無視するとか、加減速に必要な時間は無視とかは、考慮すること自体おかしい。質量がある限り・・

猿の惑星と相対性理論

以下の条件とします。

宇宙船から見れば、地球はあるとき自由落下を始めて、無限の彼方に落ちていくように見えます。

この回答への補足

#9 が間違ってたので訂正 (なお, 以下では全て「同時である」時刻のみを考えます):

この回答への補足

えぇと....

加速度系から見た場合の、物体の時間の進み方について説明します。

この回答への補足

「相対論の正しい間違え方」という本を読めば, 多分わかる.

＞以下に直接答えていただければいいだけなのですが。

この回答への補足

あなたが言われるのは双方が慣性系の場合です

当方も社会人なので、#4さんのような細かい議論はできません。

＞加速度期間は一応設定していて、そのときの時計の進み具合は

この回答への補足

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