巡回群が加法群Ｚと同型であることを示す、代数学の問題です。

Gを巡回群とすると、任意のGの元はa^n(n∈Z)（aは生成元）となり、
f:Z→Gをf(n)=a^nで定める。
このあと全単射を示すところで単射を示す際、
a^n=a^m　から、
　n=m　とできますか？
また、ここまでのやり方はあってますか？
回答お願いします。

No.1 回答者： arrysthmia 回答日時： 2009/01/28 01:15

「巡回群」というと、有限群なのではないですか？

Ｇの位数が有限なら、Ｚとは濃度が異なります。
つまり、ＺとＧとの間に全単射はありません。

＞ a^n=a^m　から、
＞ n=m　とできますか？

できません。{ a^n | n∈Ｚ } が有限集合ですから、
n≠m かつ a^n=a^m となる n,m が存在します。

ＺからＧへ、同型は存在しませんが、
準同型なら存在します。「剰余系」というやつです。

この回答への補足

回答ありがとうございます。
巡回群が有限ならばＧとＺは同型ではないのですね。

巡回群が無限のときはあるのでしょうか？

補足日時：2009/01/28 09:33

No.2 回答者： jmh 回答日時： 2009/01/28 02:44

Ｇって無限？

この回答への補足

回答ありがとうございます。
Ｇが無限かはわからないのですが、
Ｇが無限、有限でわけることができるのですか？

補足日時：2009/01/28 09:30

No.3 回答者： 33550336 回答日時： 2009/01/29 01:04

Ｇが無限ならＺと同型

Ｇが有限（位数ｍ≧１）ならＺ/ｍＺと同型です。
無限巡回群の場合、生成元ａに対して
a^n＝０ならばn＝０
が示せます。
有限の場合は同じ写像でKerを考えて準同型定理を使うのが楽だと思いますが、準同型定理はわかりますか？