体積の計算(中学生)

三角柱を斜めに切断した(切頭三角柱)の体積を計算するのによく底面積×高さの平均(それぞれの高さの和÷３)で出しますが、これは例えば四角柱、五角柱などでも使えるのでしょうか。予想では三角柱はどんな三角柱でも使えて、四角柱では底面が正方形か長方形しか使えないような気がするのですが……。
証明などがあれば最高です。よろしくお願いします。
また、生徒に高さの平均の話しをするとき、どうゆうふうに説明して理解させるのか、何か秘策があればそれも教えてください。

No.11 回答者： Largo_sp 回答日時： 2003/02/14 17:17

一応補足...底面が平行四辺形の四角柱の場合

切面は平行四辺形となるので、その対角線は、各々の対角線の中点で交わる。
対角線の交点の高さをhoとすると、h4-ho=ho-h3,h1-ho=ho-h2となる。…(1)
これより、h4+h3=2ho,h1+h2=2ho 高さの平均は(h1+h2+h3+h4)=hoとなる...

平行四辺形の場合、どのように切って三角柱に分けても底面積は,
Ｓ4/2となる...
このことから、V=Ｓ4/2{(h4+h1+h3)/3+(h4+h2+h3)/3}=Ｓ4/6(2h4+2h3+h1+h2)
=Ｓ4/6(4ho+2ho)=Ｓ4ho...これは底面積×高さである
これらの式は、h1,h2とh3,h4をお互い入れ替えても成立する。

台形や、不等辺不並行四辺形の場合は、(1)が成立しないので、平均にはならない。(特殊な切片の場合をのぞく）

でいいかな？

mmkyさんのh4=0のとき...とかの評価はよくわからないけど...

No.10 回答者： mmky 回答日時： 2003/02/14 10:06

mmkyです。

参考までに

[これが正しいとすると、四角柱は三角柱が２個、五角柱は三角柱が３個と考えると、３角柱の体積の求め方を使えばＮ角柱の体積は三角柱に分解することで求まると予想されますね。]

の命題に再度戻ります。

三点の高さが決まれば切断平面は確定できます。四点以上の切断平面の場合は、四点のうちの三点で決まる2個の切断面で決まります。切断面は平面としていますので、平面になるような条件の高さになります。一般的な曲面や複数の違った断面が出来る場合は除外します。
三角柱の高さの平均則は正しいので、四角柱以上の切断面が平面の場合（断面が連続であること）は、四角柱の場合、2個の三角柱に分解できるので、4点の高さを(0,0,h4)(x1,0,h1)(0,y1,h2)(x1,y1,h3) とすると、(0,0,h4)(x1,0,h1)(0,y1,h2)と
(x1,0,h1)(0,y1,h2)(x1,y1,h3)の2個の三角柱として、
体積V4が、V4=(x1*y1)(1/2){(h4+h1+h2)/3+(h1+h2+h3)/3 }
=S4*{(h4+h1+h2)/6+(h1+h2+h3)/6 } :S4は四角形の底面積(x1*y1)
h4=h3 の場合　h1=h2 で切断されると思いますが、
V4=S4*{(h1+h2+h3)/3}
h4=0 の場合、断面が平面になる条件は、h1=0,又はh3=0 しかないかな、で、
V=S4*{(h2+h3)/3},又は V=S4*{(h1+h2)/3}

五角柱の場合は、底面を三角形S1,S2,S3として、
V5=S1*{(h1+h2+h3)/3}+S2*{(h2+h3+h4)/3}+S3*{(h3+h4+h5)/3}
S1+S2+S3=S5: 五角柱の底面積

というように考えれば、（3辺の高さの合計÷3）は四角柱でも五角柱にでも
適用できますね。この考えのほうがいいかなということで。
参考程度まで

No.9 回答者： Largo_sp 回答日時： 2003/02/14 01:59

長方形の四角柱の場合、切ったところの一番高いところと一番低いところの中間で

切って隙間をうめると、きれいに四角柱になりそうです。
証明は書いてたけど、点がいっぱいでてきて文章では判りづらくなりそう...

ポイントは、h3=h1+h2ですね...真ん中の二つの点は、一番高い点の半分の高さのから
等距離はなれている。ということです。
そうすると、上側の斜めの線と、反対側の下側の斜めの線が、平行になるので空間と、相手側が合同になるんですねぃ...

物をつくって説明するほうがわかりやすいかもしれません...
こちらの証明は必要なら書きます...点がいっぱい出てきて判りづらいですけど...

No.8 回答者： Largo_sp 回答日時： 2003/02/14 00:26

h4=0,h3=h2+h2となる四辺形って長方形と、正方形はなるようですが...

他はどんなのがあるのでしょう...
ひし形だとうまくいきそうですが、平行四辺形までOK?
（どちらも、原点を通る長方形の対角線で対称につぶしているから..）
台形になるとちがってきそうですね...
感覚的なところなので...証明はmmkyさんよろしく...（笑）

No.7 回答者： mmky 回答日時： 2003/02/13 21:50

mmkyです。

＃6のLargo_spさんのご指摘の、h4=0, h3=h2+h1 の条件がありますね。
ということで、
「四角柱では「高さの平均則」は成立しませんね。」 は、
「四角柱では「高さの平均則」は一般的には成立しませんね。」
に修正しておきます。
追伸まで

No.6 回答者： Largo_sp 回答日時： 2003/02/13 20:08

#5のmmkyさんの解答で、h4=0,c=1にしても一般性は失いませんよね....

すると...h3=h2+h1となって、

最終の式にあてはめると...

V1=-(x1*y1)h3/2=-(x1*y1)(h1+h2+h3+h4)/4となって（正負逆ですが）
平均側は成立します...

特殊な条件かな...

No.5 回答者： mmky 回答日時： 2003/02/13 19:21

参考程度に

四角柱で底面が正方形か長方形の場合

平面の方程式を ax+by+cz+d=0 --(1)
z=-{ax+by+d}/c
4辺の高さをh1,h2,h3,h4 としましょう。
(0,0,h4)(x1,0,h1)(0,y1,h2)(x1,y1,h3)
c*h4=d
a*x1+c*h1+d=0
b*y1+c*h2+d=0
a*x1+b*y1+c*h3+d=0

a*x1+c(h2-h3)=0 →a=c(h2-h3)/x1
-by1+c(h1-h3)=0 →b=c(h1-h3)/y1

y=0,y=y1, x=0,x=x1
体積V=∫[0≦x≦x1]∫[0≦y≦y1]zdxdy
=∫[0≦x≦x1]∫[0≦y≦y1](-{ax+by+d}/c}dxdy
=∫[0≦x≦x1]{-{{a*x*y1+b*y1＾2/2+d*y1}/c}dx
= {{{a*x＾2*y1/2+b*y1＾2*x1/2+d*y1*x1}/c}
=(1/2c)(x1*y1){a*x1+ b*y1+2*d}
=(1/2)(x1*y1){(h2-h3)+(h1-h3)+2*h4}
=(1/2)(x1*y1){h1+h2-2*h3+2*h4}

ということで、四角柱では「高さの平均則」は成立しませんね。
参考まで

No.4 回答者： Largo_sp 回答日時： 2003/02/13 17:45

中学生でもわかる考え方でお話してみます。

三角柱の斜めに切った一番下の部分で、三角柱と切断部に分けてみます。
（切断面の一番下で、底面と平行にきれば分かれますね）
斜めの切断面の高さのうち２つの高さが同じ場合は簡単ですね...
３つの高さが違う場合は...言葉で書いてわかるかなぁ...

底面の頂点をA B C 上面の点を　A E D として、低いほうの高さを
CD=h1 高いほうを　BE=h2とする、各々の辺をBC=a AC=b AC=c として
底面積をG=1/2*c*hc...とする。

上の部分を、A B Dを通る平面で切ります。すると２つの三角錐ができますね
三角錐ABCD は、1/3*G*h1ですね...

もうひとつの三角錐ABDE は、c*h2*1/2*hc*1/3　ですよね...
（ここが間違っていたらごめんなさい要になるとおもうので）
これは、ABとBEが垂直、平面ABCと平面ABEが垂直、平面ABEと辺CDが平行
ということを使っています。三角柱の切片という条件でしたので...
すると...
c*h2*1/2*hc*1/3=G*h2*1/3
両方の体積を足すと...

G(h1+h2)/3...で、３つの平均になります...

No.3 回答者： mmky 回答日時： 2003/02/13 15:22

#2のmmkyです。

[三角柱を斜めに切断した(切頭三角柱)の体積が底面積×3辺の高さの平均(それぞれの高さの和÷３)になる。]が正しいかに関して。

平面の方程式を ax+by+cz+d=0 --(1) とします。
X,Y面（Z=0 面）で、
原点を(0,0,0)としてx,y座標の(x1,0,0),(0,y1,0)で交わるとします。
｛註：三角形の底面です。｝
Z=0 面で考えると、y=-(a/b)x-(d/b) ですから、
傾きとyの切片から　(a/b)=(y1/x1), d=-y1*x1,
高さｚは、3点(0,0,h3), (x1,0,h1), (0,y1,h2) とします。
そうすると平面の方程式は、以下になります。
c*h3+d=0　→c=-d/h3/d=x1*y1/h3
ax1+c*h1+d=0 →a=-c(h1-h3)/x1
by1+ch2+d=0 →b=-c(h2-h3)/y1
(1)に代入すると、
{c(h1-h3)/x1}x+{c(h2-h3)/y1}*y+cz-x1*y1=0, c=h3/x1*y1

z={(h1-h3)/x1}x+{(h2-h3)/y1}*y+x1*y1/c
={(h1-h3)/x1}x+{(h2-h3)/y1}*y+h3

z=a'x+b'y+h3, a'={(h1-h3)/x1}, b'={(h2-h3)/y1}
体積V=(1/2)∫[0≦x≦x1]∫[0≦y≦-(y1/x1)x+y1]zdxdy
=∫[0≦x≦x1]{a'x[-(y1/x1)x+y1]+b'[-(y1/x1)x+y1]＾2/2+h3*[-(y1/x1)x+y1]}dx

∫[0≦x≦x1]{a'x[-(y1/x1)x+y1]dx={a'[-(y1/x1)x1＾3/3+y1*x1＾2/2]}
={{(h3-h1)/x1}*[-(y1/x1)x1＾3/3+y1*x1＾2/2]=(h3-h1)(y1*x1)[-1/3+1/2]
=(h1-h3)(y1*x1)/6 --(2)
∫[0≦x≦x1]{b'[-(y1/x1)x+y1]＾2/2}dx
=∫[0≦x≦x1]{b'{(y1/x1)＾2*x＾2-2*(y1/x1)*xy1+y1＾2}/2}dx
={{(y1/x1)＾2*x1＾3/3-2*{(y1/x1)*x1＾2*y1}/2+y1＾2*x1}/2}
=b'{(y1＾2*x1/3-y1＾2*x1+y1＾2*x1}/2=b'{-2*y1＾2*x1/6 +y1＾2*x1/2}
={(h2-h3)/y1}{-2*y1＾2*x1/6 +y1＾2*x1/2}=(h2-h3)(y1＾2*x1){-1/3+1/2}
=(h2-h3)(y1＾2*x1)/6 --(3)
∫[0≦x≦x1]{h3*[-(y1/x1)x+y1]}dx=h3*[-(y1/x1)*x1＾2/2+y1*x1]
=h3*[-(y1*x1＾2/2+y1*x1]=h3*(y1*x1)/2 --(4)
V=(2)+(3)+(4)
=(h1-h3)(y1*x1)/6+(h2-h3)(y1＾2*x1)/6+h3*(y1*x1)/2
=(y1*x1){(h1-h3)/6 + (h1-h3)/6 + h3/2 }
=(y1*x1/2){(h1)/3+(h2)/3+(h3)/3}
=S*{h1+h2+h3}/3 :S=(y1*x1/2)
ということで、{底面積×各辺の高さの合計÷3}　が三角柱の体積になりますね。確かに三角形であればいいですね。

参考程度に

No.2 回答者： mmky 回答日時： 2003/02/13 12:24

参考まで

[三角柱を斜めに切断した(切頭三角柱)の体積を計算するのによく底面積×高さの平均(それぞれの高さの和÷３)で出しますが]
ということですが、これが正しいとすると、四角柱は三角柱が２個、五角柱は三角柱が３個と考えると、３角柱の体積の求め方を使えばＮ角柱の体積は三角柱に分解することで求まると予想されますね。
そこで、まず[三角柱を斜めに切断した(切頭三角柱)の体積が底面積×3辺の高さの平均(それぞれの高さの和÷３)になることを確かめることが必要ですね。
ちょっと面倒なので後ほどに

参考まで