行列ゲームの2人ゲーム問題を解いていて最後のところで詰まってしまいました。
得点行列で与えられる2人ゲームのゲーム値と最適戦略を求める問題で、
1 -1 -1
-1 -1 3
-1 2 -1
シンプレックス法を用いて、次のように求めました。
1 0 0 1/2 0 0 1/2
0 0 1 0 1/4 0 1/4
0 1 0 0 0 1/3 1/3
0 0 0 1/2 1/4 1/3 7/12
ゲーム理論の本を読みながらここまで頑張ってみたのですが、
どの部分がゲーム値と最適戦略になるのかが理解できませんでした。
どなたかご教授お願いいたします。
No.4ベストアンサー
- 回答日時:
まず、前回の回答の訂正をします。
x1 = 6/13 , x2 = 3/13 , x3 = 4/13 , y1 = 6/13 , y2 = 4/13 , y3 = 3/13
が正しい値です。
そして、この値のとき、均衡状態になります。
もしAさんもBさんもこの値の通りの確率で選択肢を選べば、
f(x1,x2,x3,y1,y2,y3)
= 1x1y1 -1x1y2 -1x1y3 -1x2y1 -1x2y2 +3x2y3 -1x3y1 +2x3y2 -1x3y3
≒ -0.0769
となりますので、Aさんは、ゲーム1回当り、平均で 0.0769 点 程度、損をすることになります。
逆にいえば、Bさんは、ゲーム1回当り、平均で 0.0769 点 程度、得をすることになります。
さて、x1,x2,x3,y1,y2,y3 にいろいろな値を入れてみました。
(ご自分でも試してみて下さい。ただし、x1 + x2 + x3 = 1 , y1 + y2 + y3 = 1 にして下さい。)
その結果として、少なくともこの問題に限っては、次のことがわかりました。
・Bさんが上記の戦略を採用すれば、Aさんがどんな戦略をとったとしても、
Bさんは平均で 0.0769 点 程度、得をする → Bさんにとってはこの戦略が最適
・Aさんが上記の戦略を採用すれば、Bさんがどんな戦略をとったとしても、
Aさんは平均で 0.0769 点 程度、損をする → Aさんがこの戦略をとるメリットはあまりない
ということは、Bさんは、相手の戦略を知らなくても得をすることができます。
(もちろん、相手の戦略を知っていればもっと得ができるでしょう。)
しかし、Aさんは、Bさんが正しい戦略をとる限り、勝ち目はありません。
しかも、Bさんが正しい戦略をとらないとしても、
Bさんの戦略をAさんが読めなければ、Aさんは勘で勝負するしかありません。
私がこの問題を最初に見たとき、AさんとBさんの勝率は5分5分だろうと思っていました。
でも、実はこのゲームはBさんが有利なんですね。
yatukoさんのおかげで、私も少し賢くなれました。ありがとうございます。
分かりやすく書かれていたので、この計算の考え方が理解できたと思います!
自分で頑張って計算してみました。
長々と本当にありがとうございました!!
No.3
- 回答日時:
>> x1 + x2 + x3 = 13/12 ですから、x1,x2,x3 に 12/13 をかけると、
> のところは、逆数にしてからかけるということでいいのでしょうか?
はい、その通りです。x1 + x2 + x3 = 1 になるように、そうします。
> この値がゲーム値ということになるのですか?
ではありません。
はっきりはわかりませんが、シンプレックス表にゲーム値は書いていないのかもしれません。
では、リクエストがありましたので、続きを書くことにします。
Aさんは選択肢1,2,3のどれかしか選べませんから、x1 + x2 + x3 = 1 、
同様にBさんについて、 y1 + y2 + y3 = 1 です。
1回ゲームをするときAさんが得られる得点の期待値は、
f(x1,x2,x3,y1,y2,y3) = 1x1y1 -1x1y2 -1x1y3 -1x2y1 -1x2y2 +3x2y3 -1x3y1 +2x3y2 -1x3y3
です。
均衡状態では、x1 + x2 + x3 = 1 を保った状態で
x1 を少しだけ増やして x2 を少し減らしても f の値は変わりません。
これを数式で表すと、
∂f/∂x1 - ∂f/∂x2 = 0
となります。(これは偏微分というものです。)
同様にすると4つの式が得られ、
∂f/∂x1 - ∂f/∂x2 = 0
∂f/∂x2 - ∂f/∂x3 = 0
∂f/∂y1 - ∂f/∂y2 = 0
∂f/∂y2 - ∂f/∂y3 = 0
が成り立ちます。
計算すると、
∂f/∂x1 = y1 - y2 - y3
∂f/∂x2 = - y1 - y2 + 3y3
∂f/∂x3 = - y1 + 2y2 - y3
∂f/∂y1 = x1 - x2 - x3
∂f/∂y2 = - x1 - x2 + 2x3
∂f/∂y3 = - x1 + 3x2 - x3
となり、これを4つの式に代入すると、
2y1 - 4y3 = 0
-3y2 + 4y3 = 0
2x1 - 3x3 = 0
-4x2 + 3x3 = 0
となります。
これに x1 + x2 + x3 = 1 と y1 + y2 + y3 = 1 を加え、
6変数で6つの式の一次連立方程式を解きます。
その結果、
x1 = 4/13 , x2 = 2/13 , x3 = 3/13 , y1 = 4/13 , y2 = 3/13 , y3 = 2/13
が得られます。
(申し訳ありませんが字数制限上、補足をお願いします。)
No.2
- 回答日時:
なぜ+αすると計算がうまくいくのか、
なぜ補足の線形計画問題を解けばよいのかについては、
私にはわかりません。
質問者さんの本を読めばたぶんわかると思うのですが、
そういうわけにもいきませんし…
満足な答えができなくてすいません。
でも、解いた結果のシンプレックス表は、
1x1 + 0x2 + 0x3 = 1/2
0x1 + 0x2 + 1x3 = 1/4
0x1 + 1x2 + 0x3 = 1/3
を表しています。
つまり、x1 = 1/2 , x2 = 1/3 , x3 = 1/4 です。
x1 + x2 + x3 = 13/12 ですから、x1,x2,x3 に 12/13 をかけると、
x1 ' = 6/13 ≒ 0.461
x2 ' = 4/13 ≒ 0.308
x3 ' = 3/13 ≒ 0.231
とすると、x1 ' + x2 ' + x3 ' = 1 となります。
どうもこの解は、
Aさんは 6/13 の確率で選択肢1(1,-1,-1)を選び、
Aさんは 3/13 の確率で選択肢2(-1,-1,3)を選び、
Aさんは 4/13 の確率で選択肢3(-1,2,-1)を選べばよい
Bさんは 6/13 の確率で選択肢1(1,-1,-1)を選び、
Bさんは 4/13 の確率で選択肢2(-1,-1,2)を選び、
Bさんは 3/13 の確率で選択肢3(-1,3,-1)を選べばよい
ことを表しているようです。
実は、私は別の方法でこの問題を解いて、上記のことがわかりました。
もしBさんが等確率で選択肢1,2,3を選ぶとすれば、
Aさんは選択肢2を選び続けるのが最適です。
でも、Bさんはそのことがわかっていますから、
選択肢3を避け、選択肢1,2のどちらかを選ぶでしょう。
では、AさんとBさんは、どの確率でどの選択肢を選べばいいのでしょうか。
Aさんが選択肢1,2,3を選ぶ確率をそれぞれ x1 , x2 , x3 とします。
Bさんが選択肢1,2,3を選ぶ確率をそれぞれ y1 , y2 , y3 とします。
すると、…
この辺で字数制限に引っかかります。
分割投稿は禁止ですが、もし続きをお知りになりたいなら、
コメントして頂ければ回答できると思います。
この回答への補足
ありがとうございます!
表の意味が分かりました。
それから少し疑問に思ったのですが、
>x1 + x2 + x3 = 13/12 ですから、x1,x2,x3 に 12/13 をかけると、
のところは、逆数にしてからかけるということでいいのでしょうか?
この値がゲーム値ということになるのですか?
続きが気になるので、
よろしければぜひ解説をお願いします。
No.1
- 回答日時:
得点行列とは何でしょうか。
AさんとBさんが対戦して、Aさんが2番目の選択肢、
Bさんが3番目の選択肢を選択したら、
Aさんが+3点、Bさんが-3点になる、という意味で間違いないでしょうか。
それから、シンプレックス法は、制約条件と目的関数があり、
それを解いた結果が質問内容の表になっていると思います。
最初に立てた制約条件と目的関数を、式の形で書いて頂けないでしょうか。
この回答への補足
AさんとBさんの得点のその意味で合ってます。
この行列のゲーム値と、AとBの最適戦略を求めたいのです。
まぎらわしく書いてしまい、すみませんでした。
まず問題の行列の成分をすべて+1しました。
解説によると行列の中を0以上なるように+αすると計算がうまくいくと書かれていたので。
それを線形計画問題化したのが下です↓
2 0 0
0 0 4
0 3 0
2x1<=1
4x3<=1
3x2<=1
x1,x2,x3>=0の下で
z=x1+x2+x3
を最大にする
ちなみに縦の列ごとにx1,x2,x3と表しています。
そもそもこの考え方とやり方が合っているのかが不安ですが・・・
よろしくお願いいたします。
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 数学 何回やれば終わるか。 2 2023/05/17 23:42
- 数学 60%の確率の次に40%の確率という状況 1 2022/08/18 07:29
- 数学 数学 確率 ゲームのガチャ 2 2023/04/27 19:23
- Wi-Fi・無線LAN ゲームしてたらワイファイが切れる。 4 2022/06/17 09:32
- 大学・短大 回答お願い致します! 次の設定で、それぞれの確率を計算せよ。 あるゲームでは、あることに1人でチャレ 2 2023/01/10 23:34
- その他(ゲーム) 脱出ゲーム 今週末に脱出ゲームをやりに行きます。 謎解きが苦手で簡単問題すら解けません。なので私は全 3 2022/11/14 07:41
- Windows 10 VirtualBoxで起動できないゲームがあります 2 2022/12/17 06:13
- カップル・彼氏・彼女 彼氏への接し方 再投稿失礼します。もう少し皆様の意見が聞きたいです。 彼氏への接し方について相談があ 3 2022/04/14 01:47
- カップル・彼氏・彼女 彼氏とゲームがしたい!けど、、、、 彼氏と同棲しています。 お互いにゲームをするのが好きで、 一緒に 2 2023/02/19 01:22
- オンラインゲーム あれだけ好きだったゲームなのに、今は興味がなくなってしまった。 5 2022/08/12 16:27
おすすめ情報
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
10の-9乗ってどういう意味ですか?
-
確率の問題で、「5人の中から3...
-
y軸と一次直線の交差角度を求め...
-
高低差のある支持点で,電線の...
-
二次関数の近似式を求めるため...
-
リニアプログラミング シンプ...
-
行列の核についての問題です
-
二点の座標から直線の方程式を...
-
log-logの補間式
-
下の関数の勾配ベクトルとヘッ...
-
行列の問題です 解け方が全くわ...
-
数学Ⅲです。 楕円楕円x^2/4+y^2...
-
オイラー法による微分方程式の...
-
双曲線x^2-y^2=1とy=2x+3の二つ...
-
ニュートン法をC言語でプログラム
-
高校数学 高2 進研模試の問題で...
-
【数学B】直線のベクトル方程...
-
数学(ベクトル)の問題
-
数学得意な方!!!!!
-
半径1の円に内接する三角形の面...
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
確率の問題で、「5人の中から3...
-
10の-9乗ってどういう意味ですか?
-
高低差のある支持点で,電線の...
-
log-logの補間式
-
ばらつきの掛け算
-
【至急!!】線形計画問題教えて...
-
写真のような分配ばねの等価ば...
-
二点の座標から直線の方程式を...
-
体積の計算(中学生)
-
高校数学Ⅰ・Aです。 2200の正の...
-
予測値と実測値の数値の乖離を...
-
多変数多項式の係数の求め方
-
数学の問題で質問です。 行きは...
-
再度、4点を通る曲線の方程式
-
3次曲線の長さの求め方
-
接線の方程式
-
直線の方程式の証明
-
次の一次不定方程式の問題の解...
-
大学数学(線形代数学)につい...
-
任意の三点を通る球体の中心座...
おすすめ情報