放射線について

放射線が指数関数で減衰する理由を級数も入れて説明してほしいです。

No.3 回答者： owata-www 回答日時： 2009/02/20 01:29

Ｘ線、γ線、中性子線等の非荷電性の放射線が物質を通過するとき、物質によって吸収されるためにその強度が減衰します。

このことから長さと放射線の減衰の割合は比例関係にあると考えられ、単位長さ当たりの放射線の減衰の割合を表す係数を“線吸収係数μ（単位はm^-1）”としています。あるいは、質量吸収係数は、この線吸収係数を物質の密度で除した“質量吸収係数（単位はcm^2/g）”を用います。

で、x進んだときの放射線の強さをIとおくと
μI=-dI/dx
となります。

μI=-dI/dx
→μdx=-1/I dI
→I=I0e^(-μx)
とあらわせます（詳しくは＃２さんの導出と同じです）
つまり、放射線が進んだ距離に応じて指数関数的に減衰します

No.2 回答者： sanori 回答日時： 2009/02/20 00:18

こんばんは。

１つの原子が１秒の間に崩壊する（放射線を出す）確率を　λ　と置きます。

すると、原子がＮ個あるとき、１秒当たりに出る放射線の数は、当然ながら、λＮ　です。

その一方、１秒当たりの原子の減少数は、当然ながら　ｄＮ／ｄｔ　です。

よって、
λＮ　＝　－ｄＮ／ｄｔ
という微分方程式が成立ちます。
これをＮについて整理すると、

１／Ｎ・ｄＮ　＝　－λｄｔ

となります。

両辺を積分すると、

∫１／Ｎ・ｄＮ　＝　－λ∫ｄｔ
lnＮ　＝　－λｔ　＋　Ｃ

両辺の指数を取れば、
Ｎ　＝　ｅ^(-λt)・ｅ^C

ｔ＝０　のとき（測定開始）のときの原子数を　Ｎo　と置けば、
Ｎo　＝　ｅ^0・ｅ^C　＝　ｅ^C
よって、
Ｎ　＝　Ｎo・ｅ^(-λt)

これは、半減期Ｔを用いれば、（途中の式は省略しますが）
Ｎ　＝　Ｎo・（１／２）^(t/T)
となります。
ｎ＝ｔ／Ｔ　と置けば、
Ｎ　＝　Ｎo・（１／２）^n
となりますから、公比が１／２の等比級数であるとも言えます。


以上、ご参考になりましたら幸いです。

No.1 回答者： phyonco 回答日時： 2009/02/19 18:11

物質中をある距離dz走ったときに、ある決まった割合fだけ減衰すると考えます。

始めの強度を１とすると、dz走った後の強度は1-fになるわけです。dzを充分小さくとればfも小さいと考えられるので、2dz走れば(1-f)^2≈1-2f、ndx走った後では
(1-f)^n ≈ 1 - nf ≈ exp(-nf)
として良いでしょう。ところでfはdzに比例すると考えられるので、ndz=zと
書けば、aを物質固有の定数として nf= az　と書けますから、上の式は結局　exp(-az) と書く事が出来ます。実際にはこの議論はdz→0の極限で厳密に成り立ちます。