力とエネルギーの関係

Question

４０年以上昔の話に習った物理を勉強しなおしていて四苦八苦しております。
力とエネルギーは確か微分積分の関係にあったと記憶しています。
しかし、運動エネルギー１/２ｍｖ＾２を微分するとｍｖになるんですが
これが力なのかさっぱり理解できずに悩んでいます。

たしか力はｍａであってｍｖはどう考えても違う気がします。
そもそも運動エネルギーの力はどうやって求めるのでしょう？

Corneria · Accepted Answer

#4のつづきです。

mv/tの単位を見ていただければ、
（質量）×（速度）／（時間）になってますよね。
mx/t^2の単位は
（質量）×（距離）／（時間）^２ですね。

（距離）／（時間）^２＝（速度）／（時間）＝（加速度）
つまり、x/t^2 = v/t = aなので、
mx/t^2 ＝ mv/t ＝ ma となります。なので、これで合ってます。


次元解析に関するpdfのリンクを載せておくので、参考にしてみてください。

参考URL：http://buturi.hiro.kindai.ac.jp/basic/phys/dim.pdf

ichiro-hot · Answer

○重力加速度ｇの中での自由落下運動
１）運動方程式　F＝ｍｇ　より、ｍａ＝ｍｇ
　通常はここでｍで両辺を割ってしまって、
　a=g　（ｇ；重力加速度９．８ｍ/（s＾2））
　微分を使って書くと
　d＾2x/ｄｔ＾2＝ｇ
２）積分をして、速度ｖを求める
　ｖ＝dx/ｄｔ＝∫ａｄｔ＝ｇｔ＋Ｃ
　自由落下ではｔ＝０のとき初期速度Ｖ0＝0だからC=0
　∴　ｖ＝ｇｔ
３）落下距離ｘを求める。
　ｘ＝∫ｖｄｔ＝∫ｇｔ・ｄｔ＝(１/２）ｇ・ｔ＾２＋C´
　落下距離はt=０でX＝０だからC´＝０
∴　ｘ=（１/２）・ｇ・ｔ＾２
４）２式と３式からｔを消した式を作る。
　　ｖ＝ｇ・ｔより　ｔ＝ｖ/ｇ
　　ｘ=（１/２）・ｇ・ｔ＾２＝ｖ＾２/（２ｇ）
　　普通はこれをｖ＝√（２ｇｘ）として
　　ｘ（ｍメートル）落下したときの速さを求める公式
　　に使う。
５）４式を違う書き方にする。
　　　ｘ＝ｖ＾２/（２ｇ）
　　　ｇを移項して、両辺に質量ｍをかける。
　　　ｍｇ・ｘ＝（１/２）・ｍ・ｖ＾２
　　ここで式の意味を考える。
　　　左辺は重力F＝ｍｇの元でｘの距離を動かされたときの仕事
　　　従ってこれはエネルギーという量の一種（位置エネルギー）
　　
　　　だから右辺もエネルギーの一種でなければならないので、速度により決まるエネルギーだから運動エネルギーと名づけた。
　　　位置エネルギーU＝ｍｇｈ　　（ｈは高さ）
　　　運動エネルギーE＝（１/２）・ｍ・ｖ＾２
以上のように、まず最初に微分積分の関係で考えるのは「加速度⇔速度⇔変移」の関係です。（これが高校で微積を使って説明する場合の扱い方です。普通は微積を使わず、面積＝三角形の面積や台形の面積を使って説明しますけど。）

　実際にはニュートンも「仕事」という概念のレベルで終わってて、１００年ぐらいあとのヘルムホルツあたりがはじめて「ポテンシャル」という言葉を使い、さらに100年後熱力学の完成でエネルギーという概念で統一されたと理解しています。（間違ってたら修正よろしく・・・）

●直接積分で求めるには、

　　ｍ・d＾2ｘ/ｄｔ＾2＝-ｍｇ　　（ここでは上向きを＋とします。）
　　両辺にｄｘ/ｄｔを掛けて、
　　ｍ・｛d＾2ｘ/dt＾2｝・｛ｄｘ/ｄｔ｝＝-ｍｇ・｛ｄｘ/ｄｔ｝
　　
　次の変形がなかなか思いつかない！
　　　｛d＾2ｘ/dt＾2｝・｛ｄｘ/ｄｔ｝＝｛ｄｘ/ｄｔ｝・｛d＾2ｘ/dt＾2｝
　　　＝｛ｄｘ/ｄｔ｝・｛d＾2ｘ/dt＾2｝＝｛ｄｘ/ｄｔ｝・｛ｄ(ｄｘ/ｄｔ）/ｄｔ｝
　　　＝ｖ・（ｄｖ/ｄｔ）＝（1/２）｛ｄ（v＾2）/ｄｔ｝
　　　（逆に後ろから計算したほうが正しいことがわかりやすい）
　
　　だから、
　　　　ｍ・（1/２）｛ｄ（v＾2）/ｄｔ｝＝-ｍｇ・｛ｄｘ/ｄｔ｝
　　両辺をｔで積分して
　　　　（1/２）・ｍ・v＾2＝-ｍｇ・ｘ　＋　C
　　　　（1/２）・ｍ・v＾2　＋　ｍｇ・ｘ　＝　C；一定
　　としてエネルギー保存則にいたります。

※あっしも50代でやんす！！

cozycube1 · Answer

>そんなことはどうでもよろしいがｍｖ／ｔが運動エネルギーの力でいいんでしょうか？

　はい、そこでもう少し考察を進めましょうよ。mは変化しない量ですね。着目すべきは速度と時間の関係です。これらの変化量ですね。変化量はΔ（デルタ）で表します。つまり、mΔv/Δtですが、時々刻々ということを考えれば、これは微分操作としてdv/dtですね。dv/dtって加速度aじゃないですか。つまりは、F = maという当たり前の式に帰着します。

lycaon · Answer

回答じゃないです・・・

>数学なんてのも３０過ぎくらいまではちょこちょこやりましたが
>だいぶもうろくしているさかい四苦八苦です。
>多分分かるはずとおもうてやり始めたら全然ダメですわ。

この方、好き！　お互い、頑張りましょ！
（年金生活者の小さなエール）

91091 · Answer

このような計算で出てくるｍｖは、ラグランジュの運動方程式で出てくる一般化運動量そのものです。でもラグランジュの運動方程式は、純粋に数学的操作なので、物理的意味はよくイメージできません。
ラグランジュの運動方程式では、ｍｖを更に時間で微分して、力にします。

Corneria · Answer

エネルギーから力を算出するには、エネルギーを距離で微分します。
質問者さんはそこを速度で微分してしまってますね。
v=x/tとして、　1/2mv^2　を　1/2m(x/t)^2　に置き換えてこれをxについて微分してみてください。

noname#161582 · Answer

考えている力が保存力ならばポテンシャルUが存在して

F＝-∇U　・・・(イ)

です。つまりNo.1さんの言うように力は位置エネルギーを位置で微分したものです。

今質問者さんが考えている力は保存力とは限らないんですよね？

力Fが作用して質点が微小距離drだけ移動したときに、力が質点にする仕事は

F・dr ・・・(ロ)

です。一方、この仕事によって質点の運動エネルギーは

d[(1/2)mv^2] ・・・(ハ)

だけ増加します。(ロ)と(ハ)は等しいので

F・dr＝d[(1/2)mv^2]  ・・・(ニ)

両辺をdtで割って

(左辺)＝F・(dr/dt)＝F・v  ・・・(ホ)

(右辺)＝d/dt[(1/2)mv^2]＝m(dv/dt)・v  ・・・(ヘ)

(ホ)と(ヘ)を比較して運動方程式

F＝m(dv/dt) ・・・(ト)

を得ます。

cozycube1 · Answer

速度vは位置xを時間tで微分したものですからv = dx/dtですね。加速度aは、その速度の時間微分だから、a = dv/dt = d^2x/dt^2。mv^2/2を微分したくなったら、その意味を考えましょう。v = dx/dtを念頭に置くとして、m(dx/dt)^2/2の何を何で微分するのでしょうか。
　記号の遊びになっていませんか。ma = md^2x/dt^2は、当然、mv = mdx/dtと違うものということは一目瞭然ですよね。気がする、どころではありません。微分積分のない高校物理ではなく、微分方程式が基本となる大学物理の物理量の基本からやり直すことをお勧めします。教養過程向けの総合教科書などもいいですよ。数学も並行してやると、なお良いです。

sanori · Answer

こんばんは。

＞＞＞力とエネルギーは確か微分積分の関係にあったと記憶しています。

エネルギーを距離で微分すれば、力になります。


＞＞＞しかし、運動エネルギー１/２ｍｖ＾２を微分するとｍｖになるんですが
＞＞＞これが力なのかさっぱり理解できずに悩んでいます。

距離ではなく速度で微分しているのですから、
微分した結果は、当然、力にはなりません。


＞＞＞たしか力はｍａであってｍｖはどう考えても違う気がします。

おっしゃるとおりです。


＞＞＞そもそも運動エネルギーの力はどうやって求めるのでしょう？

たとえば、
重力がｇで一定だとして、質量ｍのボールを運動エネルギー１／２・ｍｖ^2　で投げ上げたとしましょう。
すると、最高地点まで達して、その後、落ちてきますよね。
そのとき、投げた位置をゼロとして、高さｈが最高点だったとすれば、
１／２・ｍｖ^2　÷　ｈ
が、あなたのおっしゃっている「力」です。

ただし、
たとえば、ｈを１０分割して、ｈ／１０、２ｈ／１０、３ｈ／１０、・・・、９ｈ／１０、ｈ
としたときも、運動エネルギーは１０分の１ずつ減っていきます。
つまり、高さが　ｈ／１０　上がるごとに、
運動エネルギーは、１／２・ｍｖ^2　÷　１０　ずつ減っていきます。
結局のところ、
エネルギーをｈで微分しているのと同じことになります。


以上、ご参考になりましたら。

力とエネルギーの関係

#4のつづきです。

○重力加速度ｇの中での自由落下運動

>そんなことはどうでもよろしいがｍｖ／ｔが運動エネルギーの力でいいんでしょうか？

回答じゃないです・・・

このような計算で出てくるｍｖは、ラグランジュの運動方程式で出てくる一般化運動量そのものです。

エネルギーから力を算出するには、エネルギーを距離で微分します。

この回答への補足

考えている力が保存力ならばポテンシャルUが存在して

速度vは位置xを時間tで微分したものですからv = dx/dtですね。

こんばんは。

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