No.7ベストアンサー
- 回答日時:
> t=-1,1±√2になりますが、
> tanx=1±√2はどのように考えればよいのでしょうか?
回答がちょっと不親切でしたね。t^2-2t-1=0はNo1さんの式で対応させれば
sinx(sinx-cosx)=cosx(sinx+cosx)
の部分に対応する角度ですね。この式を整理すれば
(cosx)^2-(sinx)^2=-2sinxcosx
になりますね。
これは
cos2x=-sin2x
ですから
tan2x=-1
に対応します。答えの書き方はいろいろありますが、たとえば
2x=-π/4+nπ or -3π/4+nπ
ですから
x=-π/8+nπ/2 or -3π/8+nπ/2
となります。
No.11
- 回答日時:
「cos^2(x) が邪魔」という見方は、上手くありません。
sin(x) cos^2(x) が邪魔… と考えると、方向性が見えてきます。
この項が3次だから扱い難いのであって、三角関数と2次式なら
相性が良いものです。
さて、どうやって3次項を無くするか?
3倍角公式を使って sin(3x) に換える… というのが No.3 (と No.5 No.6)。
両辺を sin(x) で割れば tan(x) の2次式になる… というのが No.4。
逆に、両辺に sin(x) を掛けて、倍角公式を2回使っても良いでしょう。
sin(x) - cos(x) 替わりに sin(x) + cos(x) に着目すれば、1次×2次に
因数分解できる… というのが No.1 No.8。
三角関数は豊富な公式(関数等式)を持つので、式変形の方法は多彩ですが、
方程式の次数を下げよう… という方向は共通です。
No.10
- 回答日時:
N07です。
すみませんでした。>tan2x=-1
>に対応します。答えの書き方はいろいろありますが、たとえば
>2x=-π/4+nπ or -3π/4+nπ
>ですから
↑
ここが早とちりでした。tan2x=-1のところを第三象限と第四象限のところと勘違いしました。実は第二象限と第四象限ですから
2x=-π/4+nx
のみになります。
よって tanx=1±√2に対応する解については
x=-π/8+nx/2
だけです。
No.9
- 回答日時:
#5です。
補足がないので参考までに正しいxの解を書いておきます。
(他の方の解答のxが間違っているものが含まれているようです。
正しい解は元の三角方程式に代入して成立しなければ解と言えません)
A#5で導いた
sin(3x)=-cos(x)
を満たすxは
x=(3π/8)+ (nπ/2) , (3π/4)+nπ
ここで,nは整数(0,±1,±2, ... )です。
↑の結果は#6さんのxの答と一致していてます(つまり正解です。)。
(A#5でアドバイスした単位円を使う方が簡単に解けると思いますが。)
No.8
- 回答日時:
別解の2 w
>sin(x)-cos(x)=tでうまくいくかと思ったのですが、
その方針でも、ちょつと工夫すれば解けるよ。
sin(x)-cos(x)=t、sin(x)+cos(x)=mとすると、t^2+m^2=2 ‥‥(1).
又、sin(x)=(t+m)/2、cos(x)=(t-m)/2 ‥‥(2)
(1)と(2)を条件式に代入すると、2t=t*(t^2+m^2)=(t+m)*(t-m)^2.
これを展開して、整理すると、m*(t^2+2mt-m^2)=0.
t^2+2mt-m^2=0の時は、これに(1)と(2)を代入して戻してやると、sin(2x)+cos(2x)=0となる。
>両辺をsinxで割れば
sinx≠0である事を確認する必要がある。
No.6
- 回答日時:
#3さんと同様の同値変形で、
sin(3x)=-cos(x)
⇔sin(3x)=-sin(π/2-x)
⇔sin(3x)=sin(x-π/2)
が得られます。
ここで、xの範囲についての条件がなければ、nを整数として、上の三角方程式から、次の式が導かれます。
3x=x-π/2+2nπ または 3x=π-(x-π/2)+2nπ
∴x=-π/4+nπ または x=3π/8+nπ/2
>t=-1,1±√2になりますが、
>tanx=1±√2はどのように考えればよいのでしょうか?
tanx=-1 は、上の x=-π/4+nπ に対応します。
tanx=1±√2 は、上の x=3π/8+nπ/2 に対応します。
No.5
- 回答日時:
xの範囲の指定は無いですか?
ヒント)
4sin(x)cos^2(x)=2sin(x){1+cos(2x)}
=2sin(x)+2sin(x)cos(2x)
=2sin(x)+sin(3x)-sin(x)
=sin(x)+sin(3x)
なので
-cos(x)=sin (3x)
これを満たすxの一次方程式を
単位円を使って立ててxを求めるだけです。
簡単にxが出てきますよ。
質問する場合は
やった自力解答の計算を補足に書いた上で、分からない箇所だけ
きいて下さい。
No.4
- 回答日時:
両辺をsinxで割れば
1-1/tanx=4(cosx)^2...(1)
一方(sinx)^2+(cosx)^2=1より1+(tanx)^2=1/(cos)^2となり、
1/{1+(tanx)^2}=(cosx)^2...(2)
ですから、これを(1)の右辺に代入しtanx=tについて整理すれば
t^3-t^2-3t-1=0...(3)
となります。この式は
(t+1)(t^2-2t-1)=0...(4)
と因数分解できます。これよりtanxの値がでます。No1さんの最初のやり方で最後の式がsinx+cosx=0またはsinx(sinx-cosx)=cosx((sinx+cosx)ですから答えは当然同じになります。
No.3
- 回答日時:
ついでに、別解を示しておく。
4*sin(x)*cos^2(x)=2*sin(2x)*cos(x)=sin(3x)+sin(x)であるから、sin(3x)+sin(x)=sin(x)-cos(x) 、つまり、sin(3x)+cos(x) =sin(3x)+sin(π/2+x)=0 を解くと良い。
でも、こっちの変形のほうが思いつき難いかな?
No.2
- 回答日時:
例によって書き込みミス。
(誤)sin(x){1-2cos^2(x)}=cos(x){2sin(x)+1}
(正)sin(x){1-2cos^2(x)}=cos(x){2*sin(x)*cos(x)+1}
こういう時は、係数に注目する事。つまり、4=2+2 って事。
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