sinA+sinBは、A＝(α+β),B=(α-β)と置き換えて sin(α+β)=sinαcosβ

sinA+sinBは、A＝(α+β),B=(α-β)と置き換えて

sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ…①
sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ…②
①+②を解くことで、和積の公式が導けると思うのですが、cos2β-cos(90°-α)という式を和積の公式に代入するのではなく、上記のやり方のように、連立で、導くことってできますか？
(式を書いてくれると助かります。)

No.1 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/08/23 09:19

「①+②を解く」とか「連立で、導く」とか

説明不足で自分だけ判っている表現が目立つけど...
要するに、和積公式を車輪の再発明したいってことかな？

加法定理を使えばいいだけで、書き方はいろいろあるけど、
「上記のやり方」に沿うならば、
2β = x+y,　90°-α = x-y　と置くと
cos(x+y) = (cos x)(cos y) - (sin x)(sin y),
cos(x-y) = (cos x)(cos y) + (sin x)(sin y)
を辺々引き算して
cos(x+y) - cos(x-y) = -2(sin x)(sin y).
すなわち
cos(2β) - cos(90°-α) = -2sin((2β+90°-α)/2)sin((2β-90°+α)/2).
これで、sin と sin の積に分解はできた。

ここで止めとくか、右辺を更にいじって
cos(2β) - cos(90°-α) = -2sin(β-α/2+45°)sin(β+α/2-45°)
= -2{ sin(β-α/2)・(1/√2) + cos(β-α/2)・(1/√2) }{ sin(β+α/2)・(1/√2) - cos(β+α/2)・(1/√2) }
= { cos(β-α/2) + sin(β-α/2) }{ cos(β+α/2 - sin(β+α/2) }
とか、他の何とかへ変形してみるかどうかは、
どんな式が導きたいのかの目的しだいだと思う。

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2022/08/23 09:26

最近この手の「できますか？」という質問が多いのだけど、自分でやってみた上で質問しているのかな？

この回答へのお礼

2βと90-αをどう置き換えればよいのかわからなかったので、質問しました

お礼日時：2022/08/23 09:28