加法定理、和積の公式、積和の公式、暗記すべき？

三角関数には加法定理、和積の公式、積和の公式などたくさんの公式がありますが、たとえば、高校生の指導者の立場としては、
生徒に「丸暗記しなさい」といったほうがいいですか？
「覚えるのはたいへんなので、毎回、導き出しなさい」といったほうがいいですか？

ケースバイケースかもしれないですが、豊富な経験の先生方のご意見をお伺いしたいです。

参考
加法定理
sin(α + β) = sinαcosβ + cos α sinβ
sin(α - β) = sinαcosβ - cosαsinβ
cos(α + β) = cosαcosβ - sinαsinβ
cos(α - β) = cosαcosβ + sinαsinβ

2倍角の公式
sin2α=2sinαcosα
cos2α=cos^2α - sin^2α=1-2sin^2α =2cos^2α - 1

半角の公式
sin^2(α/2) = (1 - cosα)/2
cos^2(α/2) = (1+ cosα) / 2

積和の公式
cos α sinβ = (1/2)(sin(α + β) - sin(α - β) )
sinαsinβ = (-1/2)(cos(α + β) - cos(α - β))

和積の公式
sinA + sinB = 2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2)
cosA - cosB = -2sin((A+B)/2)sin((A-B)/2)

No.5 ベストアンサー 回答者： physicsache 回答日時： 2006/11/10 20:28

私もNO.4のspringsideさんの意見に賛成です。

二倍角などの公式を一度導出する機会を与えるといいと思います。
あるいは、導出過程を示したレジュメを配るのも良いかもしれません。

覚えるのは、基本的な事だけで、
後はそこから自分で導出できる範囲でしょう。

しょっちゅう出てきて、よく使うものでしたら、
暗記してしまった方が時間の短縮になりますよね。
（これは時間短縮テクニックですからね。）

sin^2[theta]+cos^2[theta]=1
sin[theta]/cos[theta]=tan[theta]
sin[a+b]=sin[a]cos[b]+cos[a]sin[b]
cos[a+b]=cos[a]cos[b]+sin[a]sin[b]

加法定理で良く出る問題は、sin[a-b]やcos[a-b]の場合です。
ですので、加法定理に関しては四種類覚えても損は無いと思います。

tan[a+b]はsinとcosの場合を覚えていれば、簡単に導出できるので、
tanまで覚える必要は無いですね。

sin[pi/2-theta]=cos[theta]
sin[pi-theta]=sin[theta]
cos[pi-theta]=-cos[theta]
といった関係を理解してるなら、
加法定理は四種類も覚えなくてもいけそうです。

No.6 回答者： mister_moonlight 回答日時： 2006/11/10 21:01

私はＮｏ2さんの意見に賛成です。

もっとも、この質問者さんが生徒に何処までのレベルをもとめているかにもよりますが。

＞定理の証明を理解していない「丸暗記」は意味がないと言ってもいいと思います。

この事は、全てのレベルの生徒に言えると思います。

＞暗記していなくても、普段から使い慣れていれば自然と浮かんでくるはずです。
＞逆に、そういうようにならなければ駄目だと思います。

この程度に到達できる事が望ましいですね。
この事は、なにも数学に限ったことではなく他の科目にも言えることです。

No.4 回答者： springside 回答日時： 2006/11/10 18:55

私は先生ではないですが、私自身としては、

sin(α + β) = sinαcosβ + cos α sinβ
cos(α + β) = cosαcosβ - sinαsinβ
sin^2α + cos^2α = 1

の３つだけは丸暗記しておいて、後は全て必要に応じて（試験中に）導出するようにしていました。
これが「必要かつ十分」だと思います。
（No3の方の回答のように、ヘタに記憶すると、＋、－などを間違えやすいですよね）

この回答へのお礼

みなさん、ありがとうございます。

僕はどちらかいうとANo.4さんのご意見に賛同します。

僕自身は２倍角の公式だけからすべて、導出・推測します。

（sin^2α + cos^2α = 1などは公式以前の図形的常識）

微妙なのが、三角関数の合成。
何種類かあるのですが、一通りだけを覚えています。

以上は、講師としての僕の感覚です。
でも、生徒への教え方としては、やはり、ケースバイケースで毎回どう指導すればいいか悩みます。

お礼日時：2006/11/11 10:11

No.3 回答者： rangeru 回答日時： 2006/11/10 16:09

　加法定理と2倍角の公式は、物理などでもちょくちょく使うので暗記したほうがよいでしょう。

他はあんまり使わないし、使う段階で導けば大丈夫です。下手に暗記すると＋－や２,1/2などを間違いやすいので。

No.2 回答者： take_5 回答日時： 2006/11/10 14:34

かって、東大で加法定理の証明が出題された事があります。

勿論、入試にそれらの証明が必ずしも出題されるとは限りませんが、定理の証明を理解していない「丸暗記」は意味がないと言ってもいいと思います。

＞高校生の指導者の立場としては、生徒に「丸暗記しなさい」といったほうがいいですか？
＞「覚えるのはたいへんなので、毎回、導き出しなさい」といったほうがいいですか？

どちらも駄目だと思います。
暗記していなくても、普段から使い慣れていれば自然と浮かんでくるはずです。
逆に、そういうようにならなければ駄目だと思います。

No.1 回答者： googoogoof 回答日時： 2006/11/10 13:13

確かにケースバイケースだと思いますが、私が高校生だったころの先生は導く方を指導してくれました。

結果として、公式を覚えてしまったと言う状態になったような気がします。
なにぶん古い過去のことなので・・。
でも、私の娘にはいつも公式は導き出せるものは導くようにと教えてます。
導く過程がどうしても理解できないのは丸覚えしかないねと言ってます。
でも、丸覚えだと一部忘れるとすべてだめになってしまうので気をつけるようにとも言ってます。