a、b、cを自然数にするとき次の事を示せ。
(1)aが3の倍数でないならばa^-1は3の倍数である。
(2)a^2+b^2=c^2ならばa,bのうち少なくとも一つは3の倍数である。
(1)はわかりました。
(2)は解説を読んでもよくわかりません。
[解説]
a,bともに3の倍数でないと仮定する。
(1)によりa^2+b^2を3で割った余りは1+1=2
一方c^2を3でわると余りは0か1となり矛盾するからa,bのうち少なくとも一つは3の倍数である。
>(1)によりa^2+b^2を3で割った余りは1+1=2
>一方c^2を3でわると余りは0か1となり
(1)のどこを利用しているのかがよくわかりません。
あと何故c^2を3でわると余りは0か1になるのでしょうか?
数字を代入してみるとそのとおりなのはよくわかるのですが・・。
よろしくお願いします。
No.3ベストアンサー
- 回答日時:
yyama19さん、こんにちは。
>(1)aが3の倍数でないならばa^-1は3の倍数である。
↑
ここ、ちょっとタイプミスですよね?aのー1乗ではなく、aの2乗から1引いたもの、ですよね。
だとして、回答します。
>(1)によりa^2+b^2を3で割った余りは1+1=2
(1)より、aの2乗から1引くと、3の倍数です。
ですから、aの2乗は、3で割って1余ります。
同様に、bの2乗も、3で割って1余ります。
ですから、a^2+b^2=1+1=2 ←3で割った剰余系で考えているのです。
これは、a^2+b^2が、3で割って2余る数になることを示しています・・・(☆)
>一方c^2を3でわると余りは0か1となり
これも、(1)から言えます。
cが3の倍数でなければ、(1)より、cの2乗から1引いたものは3の倍数。
つまりc^2は、3で割って1余ります。
cが3の倍数であれば、c=3mとかけますから
c^2=(3m)^2=9m^2
となるので、これは3の倍数である。
ですから、cが3の倍数であろうとなかろうと、cの2乗は3で割って
あまりが0か1になります。・・・・(★)
(☆)と(★)は、明らかに矛盾していますから、
aもbも3の倍数でないとした仮定がおかしかったことになります。
よって、a,bのうち、少なくとも一つは3の倍数であることが背理法により照明されました。
ご参考になればうれしいです。
こんばんは、いつもありがとうございます。
タイプミスしてしまいました、ホントにごめんなさいm(__)m
やっと解説が理解できました。
すごく参考になりました。
ありがとうございました。
No.4
- 回答日時:
追加です。
(1)のa^-1はa^2-1のことでしたか。
それでは、
>(1)によりa^2+b^2を3で割った余りは1+1=2
は、以下のように【】内を補えばわかります。
(1)により【a^2-1は3の倍数だから、それに1を足したa^2は「3の倍数+1」ということになって、3で割った余りは1。b^2も同様に3で割った余りは1。だから、】a^2+b^2を3で割った余りは1+1=2
>(1)のa^-1はa^2-1のことでしたか。
でした~本当に申し訳なかったです。
やっと解説が理解できました。
どうもありがとうございました。
No.2
- 回答日時:
(1)に関し、a^-1は1/aですか? それが「3の倍数」というのは変な気がしますが。
(2)は、(1)がなくても以下のように解けます。
任意の自然数は、3n、3n+1、3n+2のいずれかで表されるが、それぞれの乗は、
(1) (3n)^2=9n^2=3*(3n^2)・・・3で割った余りは0
(2) (3n+1)^2=9n^2+6n+1=3(3n^2+2n)+1・・・3で割った余りは1
(3) (3n+2)^2=9n^2+12n+4=3(3n^2+4n+1)+1・・・3で割った余りは1
となるから、任意の自然数の2乗を3で割った余りは0か1である。
(余りが2にはならないということ)
さて、a、bの両方とも3の倍数でないと仮定すると、それぞれの2乗を3で割った余りは1になるから(上記の(2)又は(3)のケース)、a^2+b^2を3で割った余りは1+1=2である。
一方、右辺のc^2を3で割った余りは0か1なので、これは矛盾である。
よって、a、bのうち少なくとも1つは3の倍数である。
ごめんなさい、a^-1→a^2-1でした。
申し訳なかったですm(__)m
(3n+1)^2、(3n+2)^2もあまりは1になるんですよね、なんとなく前のが1なら次のは2になりそうな気がしてたんですが、なるほどです。
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 数学 合同式について 3 2022/05/03 23:14
- 数学 正の数aは4の倍数で、7でわると2余る数である。√576-aが正の整数となるようなaの値を求める 12 2023/06/19 19:34
- 数学 整数問題 13 京都医大 6 2023/05/08 07:33
- その他(教育・科学・学問) 小学生の算数の商について 3 2023/03/06 14:11
- 大学受験 合同式 1 2022/09/03 12:37
- 数学 連続した3つの奇数の和は、6で割ると3余る数であることを説明せよ 基本いつも最後結論の前に (今回の 6 2023/01/20 17:29
- 数学 某大学の数学入試問題で、フェルマーの定理絡みの問いがありました。 9 2023/02/14 08:35
- 国家公務員・地方公務員 公務員試験の数的処理で苦戦しています。 1 2023/01/30 08:56
- 数学 中一数学の【最大公約数と最小公倍数】の問題です。 1問だけでも教えていただけると嬉しいです。 (1) 4 2022/08/01 10:19
- 大学受験 整数問題 Nを正の整数とする。 N+18がN+2の倍数となるようなNの値の個数を求めたい。 解説に、 1 2022/08/13 12:25
このQ&Aを見た人はこんなQ&Aも見ています
おすすめ情報
このQ&Aを見た人がよく見るQ&A
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
4の100乗を、7で割った余りとい...
-
剰余演算子(%)を使用しないで余...
-
190分はなん時間何分ですか?
-
高1数学Aの問題で、 「a、bは整...
-
2は5で割り切れません。 あまり...
-
下記の問題について、「5は素数...
-
解き方を教えてください。 中3...
-
整式F(x)を x-1 で割ると5余り...
-
余りから商を求める
-
負の余りはあり得ますか?
-
数学の質問です。 3の1017乗を...
-
問題 整式X³+X²-2X+1を整式B...
-
2^nを3で割った余り
-
5進法の計算問題の解き方
-
nが3の倍数でないとき
-
自然数
-
a^kをmで割った余り は r^kをm...
-
素因数の個数について。(1)のと...
-
ある製品を決められた箱につめ...
-
x³+1で割ると余りが2x+3であり...
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
190分はなん時間何分ですか?
-
2は5で割り切れません。 あまり...
-
小学校4年生の算数の教科書で...
-
負の余りはあり得ますか?
-
剰余演算子(%)を使用しないで余...
-
0から9までの数字を使ってでき...
-
高1数学Aの問題で、 「a、bは整...
-
10進法⇒2進法には何故2で割るか
-
1から9の数字を書いたカードが...
-
問題 整式X³+X²-2X+1を整式B...
-
これの求め方を教えて下さい!...
-
4の100乗を、7で割った余りとい...
-
1 から 9 までの数字を使って引...
-
20人を4人の5チームに分ける通...
-
下記の問題について、「5は素数...
-
1000本のワインがあって、1つは...
-
Accessで割り算の余りを求める...
-
〖エクセル〗MOD関数で、小さな...
-
0は奇数か偶数なのか?
-
有理数を小数で表すと有限小数...
おすすめ情報