教えてください（＞＿＜）

Question

すいません！！この３つ問題がどうしても分かりません・・・。
　　１．初項から第二項までの和が５０、第10項までの和が９０である
　　　　等差数列の第n項までの和をSnとするとSnを最大にするnの値を
　　　　求めよ。　　　　　
　　２．二点A(3,0),B(3,2)と直線l：ｘ＋ｙ－1＝０がある。
　　　１）直線lに関して点Aと対称な点A'の座標を求めよ。
　　　２）PA＋PBを最小にするようなl上の点P座標を求めよ。
　　３.3直線4x＋3y＋１２＝０、３ｘ－４ｙ＋9＝０、2x－y－4＝０
　　　　で作られる三角形の面積を求めよ。
　
　　こんな問題です。私は高校2年の頭までしかまだならってないので
　　それぐらいの人でも使える公式などで教えて頂けると嬉しいです。
　　もしよければ解説みたいなものをつけてもらえるとさらに嬉しいです。
　　宜しくお願いしますm(_　_)m。

Aquoibonist · Accepted Answer

1.初項をa.公差をrとすると第n項はa+(n-1)r
  初項から第n項までの和Snは
　Sn=Σ{a+(k-1)r} (k=1～n)
　　=Σa+rΣk-Σr　(k=1～n)
　　=na+rn(n+1)/2-nr
　n=2とすれば
　　2a+r=50・・・(1)
  n=10とすれば
　　10a+45r=90・・・(2)
　(1)、(2)式よりa=27、r=-4
　上で求めたa,rの値より
  Sn=27n-4n(n-1)/2
    =-2n^2+29n=-2(n-(29/4))^2+841/8
  したがってn=7のときSnは最大値を取ります。
                 
2.点Aと対称な点A'の座標を(p,q)とおきます。
　直線AA'の中点は直線ｌ上に来る(点Aと点A'が直線lに対して対称より)。
　中点の座標は((3+ｐ)/2,ｑ/2)。これを直線ｌの方程式に代入して
　(3+ｐ)+ｑ-2＝0　　∴ｐ+ｑ＝-1・・・(1)
　次に直線AA'の式を出します。
　(3,0)と(p,q)を通る直線は
　ｙ-0={(ｑ-0)/(ｐ-3)}*(ｘ-3)
　∴y=q(ｘ-3)/(ｐ-3)
　この式より直線AA'の傾きはq/(ｐ-3)
　点Aと点A'が直線lに対して対称より直線lと直線AA'は直交する。
　直線lの傾きは-1だから　q/(ｐ-3)=1・・・(2)とわかる
　(なぜなら、直交する直線の傾きをかけあわすと-１になるから)
　(1)、(2)式からp=1、q=-2
　点と直線との距離を考えてもいけると思いますが。

3.とりあえず交点の座標を出します。　　
　4x＋3y＋１２＝０、３ｘ－４ｙ＋9＝０の交点Pは(-3、0)
　３ｘ－４ｙ＋9＝０、2x－y－4＝０の交点Qは(5、6)
　4x＋3y＋１２＝０、2x－y－4＝０の交点Rは(0、-4)
　と求めることができる。
　次に長さを求めます。
　PQ=√{(5-(-3))＾2+(6-0)^2}＝10
　QR=√{(0-5)^2+(-4-6)^2}=5√5
　RP=√{(0-(-3))^2+(-4-0)^2}=5
今回の場合は辺の比率を見てみるとPQ:QR:RP＝2:√5:1だから
∠P=90°の直角三角形なのがわかる。
したがって面積は、5*10/2＝25

YinandYang · Answer

１．について、
和の公式は登場させる必要はありません。
題意を良く考えれば・・・。
扱う数列Aｎを
初項a, 公差rの等差数列とすると、
Aｎ = a + (n-1)r
これに、条件を当てはめて次の２式を得る。
2a + r = 50
10a + 45r = 90
これから、a = 27, r = -4
ところで、「等差数列の第n項までの和Snが最大」
になるとき、Anはゼロまたは正である。
（マイナスの数を足したら最大にはならない）
つまり、
An = 27 -4(n-1)
   = -4n + 31  が負にならない最大のnが求める答え。
それは、n = 7 ですね。

２．と３．については、特に補足はありません。

springside · Answer

２．は公式を知っていると一発ですね。

公式：ベクトルxとベクトルyで構成される三角形の面積Ｓは、
Ｓ＝(1/2)√{x^2＊y^2-(x・y)^2}
となる。（ただし、・はベクトルの内積を表す。）
これは、x=(a,b)、y=(c,d)とすると、
Ｓ＝(1/2)｜ad-bc｜
となる。
（注：前者の式は平面でも空間でもＯＫ。後者の式は平面のみ）

３つの直線の交点が(-3,0)、(0,-4)、(5,6)なので、三角形は、(3,-4)、(8,6)で構成されています。よって面積は、
(1/2)｜3*6-(-4)*8｜=(1/2)*50=25
となります。

weasel · Answer

１．公差数列の公式Aｎ＝a+d(n-1)(初項a、公差d)
   公差数列の和の公式Sｎ＝ｎ／２（A1+An)
  条件から2a+d=50
        10a+45d=90
 これを連立させて解くと
　　　　　　ｄ＝－４
　これを代入してaを求めると　　　
　　　　　　a=27
  和の公式にこれらを代入すると　　
　　Sn＝n/2(27+27-4(n-1))
      =-2n^2+29n/2
  ここで上に凸の二次関数である事が分るから頂点が最大値となる。　　
　　平方完成させると　
　　Sn＝－２（n-29/4)+29^2/8
 　　ｎが２９／４の時最大値を取るが
　 nは自然数であるので
　　　２９／４＝７・（１／４）
　　これより頂点に最も近い自然数は７であることが分る。

２．（１）直線ｌに関して点Aと対称な点A'であるとき
　　直線Lは線分AA'の垂直２等分線である。
直線ax+by+c=0があり、垂直な直線の傾きをｍとすると
　　(-a/b)・m=-1
   直線Lに垂直な直線の傾きは1これが点（３，２）を通るので
　　y=x-1
   この直線と直線ｌの交点は（１，０）点Aから交点まで
　　（－２、－２）であるから（－１、－２）
　　（２）PA＋PBが最小となるのは線分A'Bと直線Lとの交点がPとなる時だから
　　　　　直線A'Bはｙ＝(1/2)x+3/2
        交点を求めると（5/3,-2/3)

３.めんどくさそうなので計算はしませんが
　３直線の交点３つを求めそのうち２つの距離を求め
　更にその２つの交点を通る直線に残り一つの交点から垂線を下ろしその交点を求め
　残り一つの交点と求めた交点の距離を求めればいいのではないでしょうか？
　他には三角関数やベクトルを使って求める事も出来ると思います。
　三角関数のほうは２辺（A,Bとする）を求めその狭角（θとする）を求め
　１／２（A・B）・sinθ
　ベクトルなら２辺と狭角を求め
　１／２√（A＾２＋ｂ＾２）－（A・B（内積））＾２）
＃１の方の回答を見たら交点がｘ、ｙ軸上にあるのでその方法が一番楽そうですね。

happy365days · Answer

１は・・・どの辺りが高校二年生かわからないのでわかる人におまかせします。

３だけは中学生でもやりようによればできる問題なので、答えます。

その３直線（それぞれhyinemanさんが問題に記述した順番に１，２，３とします）は座標（－３，０）、（０,－４）、そして（５，６）で交わっています。それはいいですよね。
三角形を、X軸で二つに分けます。

上の三角形は、底辺は５（２のX切片である（-3,0）と３のX切片である(2,0)の距離なので）高さは２と３の交差点（５，６）のY座標である６です。
つまり上の三角形の面積は６×５÷２＝１５

次に下の三角形です。
底辺は同じく５
高さは１と３の交点（0,-4)のY座標の絶対値（距離なので、マイナスのままではいけません）、つまり４です。
面積は、５×４÷２＝１０

求めたいのは上下の三角形の和ですので、１５＋１０＝２５　

これでいいと思いますが、多分高校生だったら先生がやってほしいのは三角関数を使う方法だと思います。よくわかりませんが。
急いだので数字違うかもしれません。やり方は間違ってないはずなので一応自分でも確かめてくださいね。

教えてください（＞＿＜）

1.初項をa.公差をrとすると第n項はa+(n-1)r

１．について、

２．は公式を知っていると一発ですね。

１．公差数列の公式Aｎ＝a+d(n-1)(初項a、公差d)

１は・・・どの辺りが高校二年生かわからないのでわかる人におまかせします。

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