放物線y=xの２乗・・・①と直線y=x+m・・・②がある。 ①と②が異なる二点で交わるとき、二つの交

放物線y=xの２乗・・・①と直線y=x+m・・・②がある。
①と②が異なる二点で交わるとき、二つの交点を結ぶ線分の中点Pの軌跡を求めよ。

この問題の詳しい解説を教えて下さい。。。

No.1 ベストアンサー 回答者： springside 回答日時： 2017/08/20 16:07

y=x^2とy=x+mを連立させて、

x^2=x+m
x^2-x-m=0　※

異なる2点で交わるから、※は異なる2つの実数解をもつ。
よって、判別式D=1-4･1(-m)=1+4m>0　∴m>(-1/4)

※の2つの実数解をα、βとすると、2つの交点は(α,α+m)、(β,β+m)なので、
その中点Pは、P( (α+β)/2, (α+m+β+m)/2 ) = P( (α+β)/2, m+(α+β)/2 )

ここで、解と係数の関係により、α+β=1なので、Pの座標はP( 1/2, m+(1/2) )
mの範囲を踏まえると、Pのy座標は、m+(1/2)>(-1/4)+(1/2)=1/4

よって、求める軌跡は、x=1/2 (ただし、y>1/4)

注：点(1/2,1/4)から上にまっすぐy軸に平行に伸びる直線です(ただし、点(1/2,1/4)は含まない)。

この回答へのお礼

大変よくわかりました。
ありがとうございました。

お礼日時：2017/08/20 17:29