1/(jω + α) の逆フーリエ e^(-αt) u(t) について、αは複素数でもいいのでしょうか？

1/(jω + α)　の逆フーリエ　e^(-αt) u(t)　について、
αが複素数のとき、この逆フーリエ式はつかえるのでしょうか？

例:
1/(jω + 5+j3) →　逆フーリエ変換 → e^(-(5+j3)t) u(t)

とすることは可能なのでしょうか？


よろしくおねがいします。

No.1 回答者： info22 回答日時： 2009/06/04 18:58

> 逆フーリエ　e^(-αt) u(t)　について、

> αが複素数のとき、
現実の世界ではαは実数でないといけませんね。
なので
例は意味がありません。

フーリエ領域は絶対値（振幅）と位相があるので通常複素数になります。

この回答への補足

回答ありがとうございます。
たびたびの質問すみません、でもどうしてもはっきりさせたいので
もう一度質問させてください。
結局、できるのでしょうか、できないのでしょうか？

補足日時：2009/06/04 21:24

No.2 回答者： info22 回答日時： 2009/06/04 23:32

#1です。

>結局、できるのでしょうか、できないのでしょうか？
時間領域で定義されていない関数を作り出してどうするのですか？
できる以前の問題ですね。
現在に教えられている大学までの数学の範囲では、できないというしか無いですね。

あなたが新たな別の数学の分野を切り開き、時間領域の関数に虚数を持ち込む定義をし、意味づけをして、その数学の体系を矛盾なく作り上げることができるなら、できるようになるかも知れませんが…。

No.3 回答者： cyototu 回答日時： 2009/06/04 23:37

もし、逆フーリエ変換が下の（１）式だったとして、t＞０だったら、その答えはe^(-(5+j3)t) です。

また、もし t＜０だったら０になります。ですから、複素数でも計算できます。ただしここでu(t)がついていないことに注意。u(t)は意味が無いので誤植だと思います。

以下に証明を書きます。

逆フーリエ変換のことを、

（１）　　　I(t) ≡ (1/2π)∫e^{+jωt}1/(jω + α) dω

と定義することにします。ただし、積分の下限は-∞、上限は＋∞とします。分母のjを括り出すと

（２）　　　I(t) = (1/2πj)∫e^{+jωt}1/(ω -j α) dω

となりますね。ここで、数学の本を読んで複素積分のコーシーの定理と留数の定理を勉強して下さい。（２）の被積分関数はω＝jαのところで無限大になる１位の極を持っていますね。そこで、α＝x＋jyとして、一般の複素数としましょう。貴方の例の場合にはx＝５ですから、極の位置 ω＝jα は複素平面の上半面にありますね。被積分関数には指数関数e^{+jωt}がついていますので、t＞０の場合には、この被積分関数は複素数ωの上半面で、|ω|→∞の半円で指数関数的にゼロになります。そこでωの-∞から＋∞の積分路に、この|ω|→∞の上半面の半円の積分路を加えても積分値 I(t) は変わりません。そこで、この半円を時計と反対方向に回った積分路を加えると、その閉じた積分路は極ω＝jαを時計と反対周り、すなわち正の向きに一周したことになります。この他にこの積分路の中に被積分関数の特異点はありませんので、留数の定理を使って、この場合の積分値は

（３） 　　 I(t) = 2πj × lim_{ω→jα} (ω→jα) × (1/2πj)e^{+jωt} /(ω -j α) = e^(-αt)　　　　　　（t＞０ and x >0）

となり、それに　α＝5+j3 を代入すれば、上の値になります。

もし、α＝x＋jy　としてx＜０だったら、ω＝jαの極は複素数ωの下半面にありますので,上の閉じた積分路の内側には特異点が無くなってしまいます。従って、複素積分のコーシーの定理により

（４）　　　I(t) = 0 　　　　（t＞０ and x<0 ）

になります。

まだ残っているのは、t＜０　の場合です。
この場合は因子e^{+jωt}のために被積分関数は複素数ωの下半面で、|ω|→∞の半円で指数関数的にゼロになりますので、今度は積分路に下半面の半径無限大の半円をつけて積分路を閉じさせなくては行けません。その場合は積分路は時計回り、すなわち負の向きになりますので、留数の定理を使う時にはその前に負の符号をつけて置かなくてはなりません。そして、もしω＝jαの極が複素数ωの上半面にあれば、積分路の内側に特異点が無いので

(5) 　　 I(t)=0 　　　　　　 (t<0 and x>0)

それに対して、もしω＝jαの極が複素数ωの下半面にあれば、留数と定理によって、

(6) 　 　I(t) = -e^(-αt) 　　　　　　　　 (t<0 and x<0)

となります（符号に注意）。

（３）は t →+∞　で（６）はt →-∞　でそれぞれゼロになることに注意して下さい。このように逆フーリエ変換が存在するときには、その値は t のどんな値でも発散しません。もし、t →+∞やt →-∞　で発散するような答えが出て来たら、何処かで間違いをやったと言うことです。

実はこれで話が終わってはいません。まだ、t＝０の場合が考えられていないからです。この場合には因子e^{+jωt}が無くなってしまうので、ωの複素平面の無限大の半円で指数関数的にゼロにはなりません。この場合には、積分した物に対数が現れて来ます。その時にはどんな値になるかは質問者さんの宿題として取っておきましょう。

また、x＝０だった場合には上の積分路は被積分関数が発散する特異点を通過してしまうので、積分値を定義するのに複素関数の解析接続およびリーマン面とう高度な概念を理解しないと，その積分値を特定できません。この高度な概念は超関数論とも繋がる面白い問題ですが、それはここでのレベルを越えてしまうので，将来、超関数や、佐藤のハイパー・ファンクション、およびコーシー積分という数学の上級分野を勉強した後で，ご自分で理解して下さい。

No.4 回答者： cyototu 回答日時： 2009/06/05 00:20

＃３です。

そこに誤植がありました。


（３）　 I(t) = 2πj × lim_{ω→jα} (ω - jα) × (1/2πj)e^{+jωt} /(ω -j α) = e^(-αt)　　（t＞０ and x >0）

が正しい式です。

また、u(t)とはヘビサイドの階段関数、すなわち、u(t)＝０ for t<0, u(t)＝1 for t>0 　のことらしいですね。もしそうなら、誤植ではありませんが、＃３で説明したように、どのように階段関数が付くかは注意して下さい。階段関数をどの記号を使って書くかは業界によって違いますので、人に説明する時は一々断って下さい。例えば，物理学ではこれをθ(t) と書く人も一杯いますから。

物理学や工学で積分をする場合には、複素積分の概念をどんどん使って積分します。ですから、本来実数の物でもこれを複素平面に解析接続してし積分するのは日常茶飯事です。

また，この話とは直接関係がありませんが、時間発展を表す関数や演算子は、その時間を純虚数に取ると、数学的な構造としては、時間はそのまま熱力学での熱平衡を表す正準分布関数の温度を表しています。もちろん温度と時間はまったく関係がないのですが、それでも数学的には同じ構造をしています。そこで、時間について論じて来た物理学の公式の多くが、そのまま熱平衡状態を表す公式として使えることもあるので便利なのです。

またそれとは完全に違った問題ですが、対称な形をしてないが、ある特殊な形をしたコマの運動で、完全に解けるものがあります。これはコワレスカヤのコマと呼ばれる物で、剛体の運動を論じる時に重要なコマです。コワレスカヤは女性ですが、彼女はコマの問題を解く時に、時間を複素数と考えて、その解がその複素平面の中で特殊な特異点を持つようなコマの形を探しました。その結果、複素平面の中で時間に関して２位の極を持つ周期解になる特別な形があることを発見しました。時間に関して複素平面内でxとyの方向に２重に周期性を持つ、定数以外の関数は、楕円関数しかありませんので、コワレスカヤは時間 t が実数の時にその解が楕円関数を使って完全に解けるコマの形を見つけたのです。

コワレスカヤのアイデアとは微妙に違うアイデアですが、コワレスカヤのように時間 t を複素平面に解析接続する代わりに、時間とラプラス共役な変数sをラプラス変換を使って導入し、その s を複素数に拡張して計算することは日常的に行われております。この場合にも、なぜ時間に関しての微分方程式をラプラス変換を使って解くのかについての最も重要な理由は、複素積分が使えるからなのです。確かに、一般の教科書では、ラプラス変換をすれば微分方程式が代数方程式になるからだ、と説明されていますし、それは確かに一面正しいのですが、しかし、それはまだラプラス変換を十分にこなしきったことが無く、せいぜい学校の試験のためだけに勉強したり、学校で教えるためだけに勉強をしたことがある方の認識のレベルです。キーワードは複素積分です。

数学における複素解析はとても強力な道具なのです。そこで、物理学はこのように常識にとらわれずに大胆に実数を複素数に拡張しながら発展して来たのです。